Question

10．一水平傳送帶以v=4m/s的速度逆時(shí)針傳送，水平部分長L=6m，其左端與一傾角θ=45°的斜面平滑相連，斜面足夠長，一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的物塊無初速度地放在傳送帶最右端，已知物塊與傳送帶和斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.25，g=10m/s²．求：
（1）物塊第一次從傳送帶最右端到最左端所用的時(shí)間．
（2）物塊第一、二次從傳送帶滑向斜面在斜面上滑行的最大距離之比．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求出物塊在傳送帶上的加速度，根據(jù)速度時(shí)間公式求出勻加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，根據(jù)速度位移公式求出勻加速運(yùn)動(dòng)的位移，從而求出勻速運(yùn)動(dòng)的位移，得出勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，從而得出物塊第一次從傳送帶最右端到最左端所用的時(shí)間．
（2）根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出物塊第一次沿斜面上滑的最大距離，根據(jù)牛頓第二定律求出在斜面下滑的加速度，結(jié)合速度位移公式求出返回底端的速度，從而得出第二次上滑的速度，結(jié)合速度位移公式求出第二次上滑的最大距離，求出物塊第一、二次從傳送帶滑向斜面在斜面上滑行的最大距離之比．

解答 解：（1）物塊在傳送帶上勻加速直線運(yùn)動(dòng)的加速度為：
a=μg=0.25×10m/s²=2.5m/s²，
勻加速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：
${t}_{1}=\frac{v}{a}=\frac{4}{2.5}s=1.6s$，
勻加速直線運(yùn)動(dòng)的位移為：
$x=\frac{{v}^{2}}{2a}=\frac{16}{2×2.5}m=3.2m$，
則物塊勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：
${t}_{2}=\frac{L-x}{v}=\frac{6-3.2}{4}s=0.7s$．
可知t=t₁+t₂=1.6+0.7s=2.3s．
（2）物塊沿斜面上滑的加速度大小為：
${a}_{1}=\frac{mgsin45°+μmgcos45°}{m}$=gsin45°+μgcos45°=$\frac{25\sqrt{2}}{4}m/{s}^{2}$，
第一次沿斜面上滑的最大距離為：
${x}_{1}=\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}=\frac{16}{2×\frac{25\sqrt{2}}{4}}=\frac{16\sqrt{2}}{25}m$．
物塊沿斜面下滑的加速度大小為：
${a}_{2}=\frac{mgsin45°-μmgcos45°}{m}$=gsin45°-μgcos45°=$\frac{15\sqrt{2}}{4}m/{s}^{2}$，
則物塊滑到底端的速度為：
$v′=\sqrt{2{a}_{2}{x}_{1}}$=$\sqrt{2×\frac{15\sqrt{2}}{4}×\frac{16\sqrt{2}}{25}}$=$\sqrt{9.6}$m/s，
物塊滑上傳送帶后先做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，然后做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，返回到斜面底端的速度仍然為$\sqrt{9.6}$m/s，
則第二次沿斜面上滑的最大距離為：
${x}_{2}=\frac{v{′}^{2}}{2{a}_{1}}=\frac{9.6}{2×\frac{25\sqrt{2}}{4}}=\frac{9.6\sqrt{2}}{25}$m，
可知x₁：x₂=16：9.6=5：3．
答：（1）物塊第一次從傳送帶最右端到最左端所用的時(shí)間為2.3s．
（2）物塊第一、二次從傳送帶滑向斜面在斜面上滑行的最大距離之比為5：3．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵理清物塊在整個(gè)過程中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式綜合求解，知道加速度是聯(lián)系力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)的橋梁．