Question

10．在豎直的平面內(nèi)有一光滑的軌道如圖所示，水平軌道足夠長且與半圓形軌道PQ和曲線軌道MN相切于P點和N點，半圓形軌道的半徑為R₀，一質(zhì)量為m的小球從MN的軌道上A點由靜止滑下，已知小球通過半圓形軌道最高點Q時對軌道的壓力大小mg，重力加速度為g，試分析；
（1）A點距水平軌道的高度h為多大？
（2）若半圓形軌道的半徑可以改變，小球仍從A點由靜止滑下，求半圓形軌道半徑為多大時，小球恰能通過Q點？
（3）若半圓形軌道的半徑可以改變，小球仍從A點由靜止滑下，小球從Q點飛出落在水平軌道上B點，求半圓形軌道半徑為多大時，BP之間距離最大？并求出此時PB的距離．

Answer 1

分析 （1）小球在Q點時，由重力和軌道的支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出小球通過Q點時的速度．由A到Q的過程，根據(jù)機械能守恒定律求出A點距水平軌道的高度h．
（2）小球恰能通過Q點，由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出小球通過Q點時的速度．再對小球由A到Q的過程，根據(jù)機械能守恒定律列式，可求半圓形軌道半徑．
（3）根據(jù)平拋運動的規(guī)律和機械能守恒定律結(jié)合得到BP之間距離與軌道半徑的關(guān)系，運用數(shù)學(xué)知識求解．

解答 解：（1）小球在Q點時，由重力和軌道的支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律得：
mg+F_N=m$\frac{{v}_{Q}^{2}}{{R}_{0}}$
據(jù)題有：F_N=mg
由A到Q的過程，根據(jù)機械能守恒定律得：
mg（h-2R₀）=$\frac{1}{2}m{v}_{Q}^{2}$
聯(lián)立解得：h=3R₀
（2）小球恰能通過Q點，由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律得：
mg=m$\frac{{v}_{Q}^{′2}}{{R}_{0}}$
由A到Q的過程，根據(jù)機械能守恒定律得：
mg（h-2R）=$\frac{1}{2}m{v}_{Q}^{′2}$
聯(lián)立解得半圓形軌道半徑為：R=$\frac{5}{4}$R₀
（3）設(shè)半圓形軌道半徑為r．通過Q的速度為v，BP=x．
由A到Q的過程，根據(jù)機械能守恒定律得：
mg（3R₀-2r）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
小球離開Q點后做平拋運動，則有：
2r=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
x=vt
聯(lián)立解得：x=$\sqrt{2×2r（3{R}_{0}-2r）}$
根據(jù)數(shù)學(xué)知識知：當(dāng)2r=3R₀-2r，即 r=0.75R₀時，x有最大值，且x的最大值為：
x_max=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$R₀．
答：（1）A點距水平軌道的高度h為3R₀．
（2）半圓形軌道半徑為$\frac{5}{4}$R₀時，小球恰能通過Q點．
（3）半圓形軌道半徑為0.75R₀時，BP之間距離最大，此時PB的距離是$\frac{3\sqrt{3}}{2}$R₀．

點評 本題綜合運用了機械能守恒定律和臨界條件，解決本題的關(guān)鍵靈活選取研究的過程，明確臨界條件，選用適當(dāng)?shù)囊?guī)律進行求解．