Question

18．如圖所示，小球P用長L=1m的細繩系著，在水平面內(nèi)繞O點做勻速圓周運動，其角速度ω=2πrad/s．另一質(zhì)量m=1kg的小球Q放在高出水平面h=0.8m的光滑水平槽上，槽口A點在O點正上方．當小球Q受到水平恒力F作用時，P球恰好在水平槽的正下方，水平槽與繩平行，Q運動到A時，力F自然取消（g取10m/s²）．
（1）恒力F的表達式為何值，兩小球可能相碰？（用m，L，ω，h，g表示）
（2）在滿足（1）條件的前提下，求Q運動到槽口的最短時間和相應(yīng)的Q在槽上滑行的距離．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)牛頓第二定律和運動學(xué)公式表示出球Q到達A點的速度，然后由平拋運動規(guī)律表示出球Q平拋下落的時間，由圓周運動周期公式表示出P到達最左端的時間，列式時注意P球運動的周期性；
（2）P球運動半圈時有最短時間，由上題結(jié)果求解．

解答 解：（1）為了保證兩球相碰，球Q從A點飛出水平射程為L，設(shè)飛出時的速度為v，則：
由牛頓第二定律：F=ma
球的速度：v=at
從A點飛出后做平拋運動：
L=vt′，
h=$\frac{1}{2}$gt′²
要使兩球相碰應(yīng)有：$\sqrt{\frac{2h}{g}}$+t=（$\frac{1}{2}$+k）$\frac{2π}{ω}$
解以上各式得：F=$\frac{mgLω}{（2k+1）π\(zhòng)sqrt{2gh}-2hω}$，（k=0，1，2…）
（2）由（1）知k=0時t最短，t_min=0.1s
同時得：F_min=25N
所以球Q在槽上滑行的距離為：x=$\frac{1}{2}•\frac{{F}_{min}}{m}{t}_{min}^{2}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{2}$×0.1²=0.125m
答：（1）恒力F的表達式為F=$\frac{mgLω}{（2k+1）π\(zhòng)sqrt{2gh}-2hω}$，（k=0，1，2…），兩小球可能相碰．
（2）在滿足（1）條件的前提下，Q運動到槽口的最短時間是0.1s，相應(yīng)的Q在槽上滑行的距離是0.125m．

點評 本題涉及了勻變速直線運動、圓周運動、平拋運動，根據(jù)不同的運動形式選擇不同的運動規(guī)律，用時間相等將它們聯(lián)系起來是關(guān)鍵．解題時要注意圓周運動的周期性．