Question

18．如圖所示，小球P用長(zhǎng)L=1m的細(xì)繩系著，在水平面內(nèi)繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其角速度ω=2πrad/s．另一質(zhì)量m=1kg的小球Q放在高出水平面h=0.8m的光滑水平槽上，槽口A點(diǎn)在O點(diǎn)正上方．當(dāng)小球Q受到水平恒力F作用時(shí)，P球恰好在水平槽的正下方，水平槽與繩平行，Q運(yùn)動(dòng)到A時(shí)，力F自然取消（g取10m/s²）．
（1）恒力F的表達(dá)式為何值，兩小球可能相碰？（用m，L，ω，h，g表示）
（2）在滿足（1）條件的前提下，求Q運(yùn)動(dòng)到槽口的最短時(shí)間和相應(yīng)的Q在槽上滑行的距離．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式表示出球Q到達(dá)A點(diǎn)的速度，然后由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律表示出球Q平拋下落的時(shí)間，由圓周運(yùn)動(dòng)周期公式表示出P到達(dá)最左端的時(shí)間，列式時(shí)注意P球運(yùn)動(dòng)的周期性；
（2）P球運(yùn)動(dòng)半圈時(shí)有最短時(shí)間，由上題結(jié)果求解．

解答 解：（1）為了保證兩球相碰，球Q從A點(diǎn)飛出水平射程為L(zhǎng)，設(shè)飛出時(shí)的速度為v，則：
由牛頓第二定律：F=ma
球的速度：v=at
從A點(diǎn)飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)：
L=vt′，
h=$\frac{1}{2}$gt′²
要使兩球相碰應(yīng)有：$\sqrt{\frac{2h}{g}}$+t=（$\frac{1}{2}$+k）$\frac{2π}{ω}$
解以上各式得：F=$\frac{mgLω}{（2k+1）π\(zhòng)sqrt{2gh}-2hω}$，（k=0，1，2…）
（2）由（1）知k=0時(shí)t最短，t_min=0.1s
同時(shí)得：F_min=25N
所以球Q在槽上滑行的距離為：x=$\frac{1}{2}•\frac{{F}_{min}}{m}{t}_{min}^{2}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{2}$×0.1²=0.125m
答：（1）恒力F的表達(dá)式為F=$\frac{mgLω}{（2k+1）π\(zhòng)sqrt{2gh}-2hω}$，（k=0，1，2…），兩小球可能相碰．
（2）在滿足（1）條件的前提下，Q運(yùn)動(dòng)到槽口的最短時(shí)間是0.1s，相應(yīng)的Q在槽上滑行的距離是0.125m．

點(diǎn)評(píng) 本題涉及了勻變速直線運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)、平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)不同的運(yùn)動(dòng)形式選擇不同的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，用時(shí)間相等將它們聯(lián)系起來(lái)是關(guān)鍵．解題時(shí)要注意圓周運(yùn)動(dòng)的周期性．