Question

11．過山車是游樂場中常見的設施．下圖是一種過山車的簡易模型，它由水平軌道和在豎直平面內(nèi)的三個圓形軌道組成，B、C、D分別是三個圓形軌道的最低點，B、C間距與C、D間距相等，半徑R₁=2.0m、R₂=1.4m．一個質(zhì)量為m=1.0kg的小球（視為質(zhì)點），從軌道的左側A點以v₀=12m/s 的初速度沿軌道向右運動，A、B間距L₁=6.0m．小球與水平軌道間的動摩擦因數(shù)μ=0.2，圓形軌道是光滑的．假設水平軌道足夠長，力加速度g=10m/s²．試求：

（1）小球在經(jīng)過第一個圓形軌道的最高點時，軌道對小球作用力的大�。�
（2）如果小球恰能通過第二個圓形軌道，B、C間距L應是多少；
（3）在滿足（2）的條件下，如果要使小球不脫離軌道，在第三個圓形軌道的設計中，半徑R₃應滿足的條件；小球最終停留點與D點的距離．

Answer 1

分析 對小球的運動過程進行分析．
運用動能定理求出小球經(jīng)過第一個圓軌道的最高點時的速度，再對小球在第一個圓軌道的最高點進行受力分析，并利用牛頓第二定律求出軌道對小球作用力．
知道小球恰能通過圓形軌道的含義，并能找出在第二圓形軌道的最高點速度．運用動能定理研究某一運動過程求出B、C間距L．
知道要使小球不能脫離軌道的含義：1、小球恰能通過第三個圓軌道，2、軌道半徑較大時，小球不能通過第三個圓軌道，但是還要不能脫離軌道，那么小球上升的高度就不能超過R₃
應用動能定理研究整個過程求出兩種情況下的問題

解答 解：（1）設小球經(jīng)過第一個圓軌道的最高點時的速度為v₁根據(jù)動能定理得：
-μmgL₁-2mgR₁=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₀² …①
小球在最高點受到重力mg和軌道對它的作用力F，根據(jù)牛頓第二定律有：
F+mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$…②
由①②解得：F=10.0 N…③
（2）設小球在第二個圓軌道的最高點的速度為v₂，由小球恰能通過第二圓形軌道有：mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{{R}_{2}}$…④
由動能定理得：-μmg（L₁+L）-2mgR₂=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₀²…⑤
由④⑤解得：L=12.5m…⑥
（3）要保證小球不脫離軌道，可分兩種情況進行討論：
 I．軌道半徑較小時，小球恰能通過第三個圓軌道，設在最高點的速度為v₃，應滿足：mg=m$\frac{{v}_{3}^{2}}{{R}_{3}}$…⑦
由動能定理得：-μmg（L₁+2L）-2mgR₃=$\frac{1}{2}$mv₃²-$\frac{1}{2}$mv₀²…⑧
由 ⑥⑦⑧解得：R₃=0.4m；
II．軌道半徑較大時，小球上升的最大高度為R₃，根據(jù)動能定理有：
-μmg（L₁+2L）-mgR₃=0-$\frac{1}{2}$mv₀²，
代入數(shù)據(jù)解得：R₃=1.0m，
綜上所述可知，要使小球不脫離軌道，則第三個圓軌道的半徑須滿足下面的條件：0＜R₃≤0.4m或 1.0m≤R₃，
小球最終停留點與起始點D的距離為：L′=5m；
答：（1）小球在經(jīng)過第一個圓形軌道的最高點時，軌道對小球作用力的大小為10N，方向豎直向下；
（2）如果小球恰能通過第二圓形軌道，B、C間距L應是12.5m；
（3）在第三個圓形軌道的設計中，半徑R₃應滿足的條件是：：0＜R₃≤0.4m或 1.0m≤R₃，小球最終停留點與D點的距離為5m．

點評 本題為力學綜合題，要注意正確選取研究過程，運用動能定理解題．動能定理的優(yōu)點在于適用任何運動包括曲線運動．知道小球恰能通過圓形軌道的含義以及要使小球不能脫離軌道的含義．