Question

如圖預(yù)17-8所示，在水平桌面上放有長木板，上右端是固定擋板，在上左端和中點(diǎn)處各放有小物塊和，、的尺寸以及的厚度皆可忽略不計(jì)，、之間和、之間的距離皆為。設(shè)木板與桌面之間無摩擦，、之間和、之間的靜摩擦因數(shù)及滑動(dòng)摩擦因數(shù)均為；、、（連同擋板）的質(zhì)量相同．開始時(shí)，和靜止，以某一初速度向右運(yùn)動(dòng)．試問下列情況是否能發(fā)生？要求定量求出能發(fā)生這些情況時(shí)物塊的初速度應(yīng)滿足的條件，或定量說明不能發(fā)生的理由．

（1）物塊與發(fā)生碰撞；

（2）物塊與發(fā)生碰撞（設(shè)為彈性碰撞）后，物塊與擋板發(fā)生碰撞；

（3）物塊與擋板發(fā)生碰撞（設(shè)為彈性碰撞）后，物塊與在木板上再發(fā)生碰撞；

（4）物塊從木板上掉下來；

（5）物塊從木板上掉下來．

Answer 1

1. 以表示物塊、和木板的質(zhì)量，當(dāng)物塊以初速向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，物塊受到木板施加的大小為的滑動(dòng)摩擦力而減速，木板則受到物塊施加的大小為的滑動(dòng)摩擦力和物塊施加的大小為的摩擦力而做加速運(yùn)動(dòng)，物塊則因受木板施加的摩擦力作用而加速，設(shè)、、三者的加速度分別為、和，則由牛頓第二定律，有

           

           

           

事實(shí)上在此題中，，即、之間無相對(duì)運(yùn)動(dòng)，這是因?yàn)楫?dāng)時(shí)，由上式可得

                                                         （1）

它小于最大靜摩擦力．可見靜摩擦力使物塊、木板之間不發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)。若物塊剛好與物塊不發(fā)生碰撞，則物塊運(yùn)動(dòng)到物塊所在處時(shí)，與的速度大小相等．因?yàn)槲飰K與木板的速度相等，所以此時(shí)三者的速度均相同，設(shè)為，由動(dòng)量守恒定律得

                                                         （2）

在此過程中，設(shè)木板運(yùn)動(dòng)的路程為，則物塊運(yùn)動(dòng)的路程為，如圖預(yù)解17-8所示．由動(dòng)能定理有

      （3）

                （4）

或者說，在此過程中整個(gè)系統(tǒng)動(dòng)能的改變等于系統(tǒng)內(nèi)部相互間的滑動(dòng)摩擦力做功的代數(shù)和（（3）與（4）式等號(hào)兩邊相加），即

                                           （5）

式中就是物塊相對(duì)木板運(yùn)動(dòng)的路程．解（2）、（5）式，得

                                                        （6）

即物塊的初速度時(shí)，剛好不與發(fā)生碰撞，若，則將與發(fā)生碰撞，故與發(fā)生碰撞的條件是

                                                        （7）

2. 當(dāng)物塊的初速度滿足（7）式時(shí)，與將發(fā)生碰撞，設(shè)碰撞的瞬間，、、三者的速度分別為、和，則有

                                                  （8）

在物塊、發(fā)生碰撞的極短時(shí)間內(nèi)，木板對(duì)它們的摩擦力的沖量非常小，可忽略不計(jì)。故在碰撞過程中，與構(gòu)成的系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，而木板的速度保持不變．因?yàn)槲飰K、間的碰撞是彈性的，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，又因?yàn)橘|(zhì)量相等，由動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒可以證明（證明從略），碰撞前后、交換速度，若碰撞剛結(jié)束時(shí)，、、三者的速度分別為、和，則有

              

由（8）、（9）式可知，物塊與木板速度相等，保持相對(duì)靜止，而相對(duì)于、向右運(yùn)動(dòng)，以后發(fā)生的過程相當(dāng)于第1問中所進(jìn)行的延續(xù)，由物塊替換繼續(xù)向右運(yùn)動(dòng)。

若物塊剛好與擋板不發(fā)生碰撞，則物塊以速度從板板的中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到擋板所在處時(shí)，與的速度相等．因與的速度大小是相等的，故、、三者的速度相等，設(shè)此時(shí)三者的速度為．根據(jù)動(dòng)量守恒定律有

                                                     （10）

以初速度開始運(yùn)動(dòng)，接著與發(fā)生完全彈性碰撞，碰撞后物塊相對(duì)木板靜止，到達(dá)所在處這一整個(gè)過程中，先是相對(duì)運(yùn)動(dòng)的路程為，接著是相對(duì)運(yùn)動(dòng)的路程為，整個(gè)系統(tǒng)動(dòng)能的改變，類似于上面第1問解答中（5）式的說法．等于系統(tǒng)內(nèi)部相互問的滑動(dòng)摩擦力做功的代數(shù)和，即

                                    （11）

解（10）、（11）兩式得

                                                        （12）

即物塊的初速度時(shí)，與碰撞，但與剛好不發(fā)生碰撞，若，就能使與發(fā)生碰撞，故與碰撞后，物塊與擋板發(fā)生碰撞的條件是

                                                        （13）

3. 若物塊的初速度滿足條件（13）式，則在、發(fā)生碰撞后，將與擋板發(fā)生碰撞，設(shè)在碰撞前瞬間，、、三者的速度分別為、和，則有

                                                 （14）

與碰撞后的瞬間，、、三者的速度分別為、和，則仍類似于第2問解答中（9）的道理，有

                                        （15）

由（14）、（15）式可知與剛碰撞后，物塊與的速度相等，都小于木板的速度，即

                                                    （16）

在以后的運(yùn)動(dòng)過程中，木板以較大的加速度向右做減速運(yùn)動(dòng)，而物塊和以相同的較小的加速度向右做加速運(yùn)動(dòng)，加速度的大小分別為

                                              （17）

加速過程將持續(xù)到或者和與的速度相同，三者以相同速度向右做勻速運(yùn)動(dòng)，或者木塊從木板上掉了下來。因此物塊與在木板上不可能再發(fā)生碰撞。

4. 若恰好沒從木板上掉下來，即到達(dá)的左端時(shí)的速度變?yōu)榕c相同，這時(shí)三者的速度皆相同，以表示，由動(dòng)量守恒有

                                                     （18）

從以初速度在木板的左端開始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過與相碰，直到剛沒從木板的左端掉下來，這一整個(gè)過程中，系統(tǒng)內(nèi)部先是相對(duì)的路程為；接著相對(duì)運(yùn)動(dòng)的路程也是；與碰后直到剛沒從木板上掉下來，與相對(duì)運(yùn)動(dòng)的路程也皆為．整個(gè)系統(tǒng)動(dòng)能的改變應(yīng)等于內(nèi)部相互間的滑動(dòng)摩擦力做功的代數(shù)和，即

                                        （19）

由（18）、（19）兩式，得

                                                       （20）

即當(dāng)物塊的初速度時(shí)，剛好不會(huì)從木板上掉下．若，則將從木板上掉下，故從上掉下的條件是

                                                        （21）

5. 若物塊的初速度滿足條件（21）式，則將從木板上掉下來，設(shè)剛要從木板上掉下來時(shí)，、、三者的速度分別為、和，則有

                                               （22）

這時(shí)（18）式應(yīng)改寫為

                                                （23）

（19）式應(yīng)改寫為

                        （24）

當(dāng)物塊從木板上掉下來后，若物塊剛好不會(huì)從木板上掉下，即當(dāng)的左端趕上時(shí)，與的速度相等．設(shè)此速度為，則對(duì)、這一系統(tǒng)來說，由動(dòng)量守恒定律，有

                                                （25）

在此過程中，對(duì)這一系統(tǒng)來說，滑動(dòng)摩擦力做功的代數(shù)和為，由動(dòng)能定理可得

                             （26）

由（23）、（24）、（25）、（26）式可得

                                                        （27）

即當(dāng)時(shí)，物塊剛好不能從木板上掉下。若，則將從木板上掉下，故物塊從木板上掉下來的條件是

                                                       （28）