Question

9．宇宙中有一星球的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的9倍，半徑約為地球半徑的一半．若從地球上h（此高度比較小）處水平拋出一物體，水平射程是30m，設(shè)地球第一宇宙速度約為8km/s，試求：
（1）則在該星球上，從同樣高度以同樣的初速度水平拋出同一物體，射程是多少？
（2）至少以多大的速度拋出，物體才不會(huì)落回該星球的表面？（提示：此時(shí)恰能在地球表面附近繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力得出星球表面和地球表面重力加速度的關(guān)系，結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出射程的大�。�
（2）根據(jù)重力提供向心力得出第一宇宙速度的表達(dá)式，從而結(jié)合重力加速度之比求出在星球上的第一宇宙速度，即不會(huì)落回星球表面的最小速度．

解答 解：（1）根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得，g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，
因?yàn)樾乔虻馁|(zhì)量是地球質(zhì)量的9倍，半徑為地球半徑的一半，則重力加速度36倍．
根據(jù)h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，x=vt知，水平射程x=$v\sqrt{\frac{2h}{g}}$，
因?yàn)橹亓�加速度之比�?6：1，則水平射程之比為1：6，
可知在該星球上，從同樣高度以同樣的初速度水平拋出同一物體，射程x′=$30×\frac{1}{6}m=5m$．
（2）根據(jù)mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$得，第一宇宙速度v=$\sqrt{gR}$，
因?yàn)橹亓�加速度之比�?6：1，半徑之比為1：2，則第一宇宙速度之比為$\sqrt{18}：1$，
解得最小速度v′=8×$\sqrt{18}$km/s=24$\sqrt{2}$km/s．
答：（1）在該星球上，從同樣高度以同樣的初速度水平拋出同一物體，射程是5m；
（2）至少以$24\sqrt{2}$km/s的速度拋出，物體才不會(huì)落回該星球的表面．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律與萬(wàn)有引力定律理論的綜合運(yùn)用，通過(guò)萬(wàn)有引力等于重力求出重力加速度之比是解決本題的關(guān)鍵．