Question

11．如圖所示，半徑為R、內(nèi)徑很小的光滑半圓管固定子啊豎直平面內(nèi)，其中A、B為最高、最低點(diǎn)、兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球a、b以不同的速率水平向右從B點(diǎn)進(jìn)入管內(nèi)，a球通過(guò)最高點(diǎn)A時(shí)，對(duì)管壁上部的壓力為3mg；b通過(guò)最高點(diǎn)A時(shí)，對(duì)管壁下部的壓力為0.75mg，求：
（1）a、b兩球落地點(diǎn)間的距離
（2）a、b兩球落地時(shí)的速率之比．

Answer 1

分析 對(duì)兩個(gè)球分別受力分析，根據(jù)合力提供向心力，求出速度，此后球做平拋運(yùn)動(dòng)，正交分解后，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式求解即可．
由動(dòng)能定理分別對(duì)兩球進(jìn)行分析，則可求得落地時(shí)的速率之比．

解答 解：兩個(gè)小球在最高點(diǎn)時(shí)，受重力和管壁的作用力，這兩個(gè)力的合力作為向心力，離開(kāi)軌道后兩球均做平拋運(yùn)動(dòng)，A、B兩球落地點(diǎn)間的距離等于它們平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移之差．
對(duì)A球：3mg+mg=m$\frac{v_A^2}{R}$
解得
v_A=$\sqrt{4gR}$
對(duì)B球：mg-0.75mg=m$\frac{v_B^2}{R}$
解得
v_B=$\sqrt{\frac{1}{4}gR}$
由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得落地時(shí)它們的水平位移為：
s_A=v_At=v_A$\sqrt{\frac{4R}{g}}$=4R
s_B=v_Bt=v_B$\sqrt{\frac{4R}{g}}$=R
解得：s_A-s_B=3R
即a、b兩球落地點(diǎn)間的距離為3R
（2）小球落地時(shí)的速度分別設(shè)為v_a'，v_b'；則有：
$\frac{1}{2}$mv_a′²-$\frac{1}{2}$mv_a²=mg2R
$\frac{1}{2}$mv_b′²-$\frac{1}{2}$mv_b²=mg2R
解得：$\frac{{v′}_{a}}{v{′}_}$=$\sqrt{\frac{32}{17}}$
答：（1）a、b兩球落地點(diǎn)間的距離為3R；
（2）a、b兩球落地時(shí)的速率之比為$\sqrt{\frac{32}{17}}$

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是對(duì)小球在最高點(diǎn)處時(shí)受力分析，然后根據(jù)向心力公式和牛頓第二定律求出平拋的初速度，最后根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的分位移公式列式求解．