Question

9．如圖，足夠長(zhǎng)的木板A靜止在光滑水平面上，物體B從A左端的上表面以水平速度v₀=5m/s滑入，在B的右端某處固定一擋板，擋板跟A的右端距離設(shè)為s，A與擋板碰撞后等速率反彈，已知A的質(zhì)量M=5kg，B的質(zhì)量m=4kg，A、B之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.2，重力加速度g=10m/s²．

（1）當(dāng)s=2m時(shí)，A與擋板碰撞是在A、B共速前還是共速后？
（2）s在什么范圍內(nèi)，A與擋板只能碰撞1次？
（3）假設(shè)最后一次碰撞前雙方的動(dòng)量大小相等，試確定A與擋板碰撞次數(shù)n與s的關(guān)系式，并計(jì)算當(dāng)s=0.05m時(shí)的碰撞次數(shù)．

Answer 1

分析 （1）以A為研究對(duì)象，根據(jù)動(dòng)能定理求出路程為s時(shí)的速度，分析A此時(shí)處于加速還是勻速狀態(tài)，再根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)量守恒列式即可．
（2）A與豎直擋板只能發(fā)生一次碰撞，碰撞后，A的動(dòng)量應(yīng)大于或等于B的動(dòng)量．對(duì)系統(tǒng)，根據(jù)動(dòng)量守恒和對(duì)A，由動(dòng)能定理列式，結(jié)合條件可求x的范圍．
（3）進(jìn)一步分析B在A上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中A與B運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)和位移、速度的特點(diǎn)，得出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之間的關(guān)系與位移之間的關(guān)系，然后結(jié)合恰好發(fā)生2次、恰好發(fā)生3次等情況，得出發(fā)生n次碰撞對(duì)應(yīng)的s的通式，并結(jié)合n與s之間關(guān)系的通式，計(jì)算出s=0.05m時(shí)發(fā)生碰撞的次數(shù)．

解答 解：（1）在A向右運(yùn)動(dòng)路程2m的過(guò)程中假設(shè)已經(jīng)達(dá)到速度相等，由于水平方向A、B系統(tǒng)動(dòng)量守恒，則：
mv₀=（M+m）v
代入數(shù)據(jù)解得 v=$\frac{20}{9}$m/s
A若一直做加速運(yùn)動(dòng)，則位移：$x=\frac{{v}^{2}}{2a}$
又：$a=\frac{μmg}{M}=\frac{0.2×4×10}{5}=1.6m/{s}^{2}$
解得：$x=\frac{{（\frac{20}{9}）}^{2}}{2×1.6}=\frac{125}{81}m＜2$m
所以A與擋板碰撞是在A、B共速后．
（2）設(shè)A、B與擋板碰前瞬間的速度分別為v_A1、v_B1，由動(dòng)量守恒定律：
mv₀=Mv_A1+mv_B1
若A與擋板只能碰撞1次，則碰撞后二者的動(dòng)量方向相反，大小至少是相等，則A與擋板碰撞前二者的動(dòng)量大小相等，此時(shí)：$M{v}_{A1}=m{v}_{B1}=\frac{1}{2}m{v}_{0}$
得：${v}_{A1}=\frac{m{v}_{0}}{2M}=\frac{4×5}{2×5}=2$m/s
A在該過(guò)程中的位移：${x}_{1}=\frac{{v}_{A1}^{2}}{2a}=\frac{{2}^{2}}{2×1.6}=1.25$m
A在加速的過(guò)程中的位移越大，則速度越大，所以若A與擋板只能碰撞1次，則應(yīng)滿足：s≥x₁=1.25m
（3）恰好發(fā)生一次碰撞時(shí)，碰撞后木板A在水平方向仍然只受到摩擦力的作用，加速度的大小仍然是a，所以發(fā)生的最大位移：
${x}_{2}=-\frac{{v}_{A1}^{2}}{2a}=-1.25$m=-x₁
可知A恰好返回出發(fā)點(diǎn)，此時(shí)根據(jù)動(dòng)量守恒定律可知，B的速度也恰好是0．則B運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：
$t=\frac{0-m{v}_{0}}{-μmg}=\frac{{v}_{0}}{μg}=\frac{5}{0.2×10}=2.5$s
而A到達(dá)擋板的時(shí)間：${t}_{1}=\frac{{v}_{A1}}{a}=\frac{2}{1.6}=1.25$s
同理，A返回出發(fā)點(diǎn)的時(shí)間：${t}_{1}′=\frac{{v}_{A1}}{a}=\frac{2}{1.6}=1.25$s
可知：${t}_{1}′={t}_{1}=\frac{1}{2}t$
根據(jù)題意，若最后一次碰撞前雙方的動(dòng)量大小相等，則根據(jù)動(dòng)量守恒定律可知，A與B組成的系統(tǒng)最后的速度都恰好等于0，而此時(shí)A一定恰好返回出發(fā)點(diǎn)．
若恰好發(fā)生2次碰撞，則A運(yùn)動(dòng)2個(gè)來(lái)回，單次的時(shí)間：${t}_{2}=\frac{1}{4}$t
若恰好發(fā)生3次碰撞，則A運(yùn)動(dòng)3個(gè)來(lái)回，單次的時(shí)間：${t}_{3}=\frac{1}{6}t=\frac{1}{2×3}t$
若恰好發(fā)生n次碰撞，則A運(yùn)動(dòng)2n個(gè)來(lái)回，單次的時(shí)間：${t}_{n}=\frac{1}{2n}t$
恰好發(fā)生n次碰撞時(shí)對(duì)應(yīng)的位移：${x}_{n}=\frac{1}{2}a（\frac{t}{2n}）^{2}=\frac{a{t}^{2}}{8{n}^{2}}$=$\frac{1.6×2．{5}^{2}}{8{n}^{2}}$=$\frac{1.25}{{n}^{2}}$m
當(dāng)s=0.05m時(shí)$0.05=\frac{1.25}{{n}^{2}}$，
代入數(shù)據(jù)得碰撞次數(shù)：n=5次．
答：（1）當(dāng)s=2m時(shí)，A與擋板碰撞是在A、B共速后；
（2）當(dāng)s≥1.25m時(shí)，A與擋板只能碰撞1次；
（3）假設(shè)最后一次碰撞前雙方的動(dòng)量大小相等，A與擋板碰撞次數(shù)n與s的關(guān)系式為s_n=$\frac{1.25}{{n}^{2}}$m，當(dāng)s=0.05m時(shí)的碰撞次數(shù)是5次．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)量守恒定律、動(dòng)能定理的應(yīng)用，本題第（3）小題是本題的難點(diǎn)，知道A與擋板碰撞n次的條件是正確解題的前提與關(guān)鍵．