Question

8．如圖所示，勻強磁場的磁感應強度為B，寬度為d，邊界為CD和EF．一電子從CD邊界外側以速率v₀垂直射入勻強磁場，入射方向與CD邊界間夾角為θ．已知電子的質量為m，電荷量為e，為使電子能從磁場的另一側EF射出，求電子的速率v₀至少多大？若θ角可取任意值，v₀的最小值是多少？

Answer 1

分析 電子在磁場中做勻速圓周運動，當其軌跡恰好與EF邊相切時，軌跡半徑最小，對應的速度最�。�由幾何知識求出，再牛頓定律求出速度的范圍．運用數學知識，由θ的取值來確定速度的最小，從而求出半徑的最小值．

解答 解：當入射速率v₀很小時，電子會在磁場中轉動一段圓弧后又從CD一側射出，
速率越大，軌道半徑越大，當軌道與邊界EF相切時，電子恰好不能從EF射出，如圖所示：
電子恰好射出時，由幾何知識可得：
r+rcosθ=d                    ①
電子做圓周運動，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：ev₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，
解得：r=$\frac{m{v}_{0}}{eB}$  ②
由①②得：v₀=$\frac{eBd}{m（1+cosθ）}$        ③
故電子要射出磁場，速率至少應為：$\frac{eBd}{m（1+cosθ）}$．
由③式可知，θ=0°時，v₀=$\frac{Bed}{2m}$最小，
由②式知此時半徑最小，r_min=$\fracuc0ig0q{2}$，
答：為使電子能從磁場的另一側EF射出，求電子的速率v₀至少為$\frac{eBd}{m（1+cosθ）}$，θ角可取任意值，v₀的最小值是：$\frac{Bed}{2m}$．

點評 本題考查圓周運動的邊界問題的求解方法．當入射速率v₀很小時，電子會在磁場中轉動一段圓弧后又從CD一側射出，速率越大，軌道半徑越大，當軌道與邊界EF相切時，電子恰好不能從EF射出．