Question

14．如圖所示，讓擺球從圖中的C位置由靜止開始擺下，擺到最低點D處，擺線剛好被拉斷，小球在粗糙的水平面上由D點向右做勻減速運動，到達小孔進入半徑R=0.25m的豎直放置的光滑圓弧軌道，當擺球進入圓軌道立即關閉A孔．已知擺線長L=2m，θ=60°，小球質量為m=1kg，D點與小孔A的水平距離s=2.5m，g取10m/s²．試求：
（1）求擺線能承受的最大拉力為多大？
（2）要使擺球能進入圓軌道并且不脫離軌道，求擺球與粗糙水平面間的摩擦因數μ的范圍．

Answer 1

分析 （1）擺球擺到D點時，擺線的拉力最大，根據機械能守恒定律求出擺球擺到D點時速度，由牛頓第二定律求出擺線的最大拉力．
（2）要使擺球能進入圓軌道，并且不脫離軌道，有兩種情況：一種在圓心以下做等幅擺動；另一種能通過圓軌道做完整的圓周運動．
小球要剛好運動到A點，對小球從D到A的過程，運用動能定理求出動摩擦因數μ的最大值；
若小球進入A孔的速度較小，并且不脫離軌道，那么將會在圓心以下做等幅擺動，不脫離軌道，其臨界情況為到達圓心等高處速度為零，根據機械能守恒和動能定理求出動摩擦因數．
要使擺球能進入圓軌道，恰好到達軌道的最高點，就剛好不脫離軌道，在最高點時，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求出此時小球的速度，對從D到軌道最高點的過程，運用動能定理求解動摩擦因數的最小值，即可得到μ的范圍．

解答 解：（1）當擺球由C到D運動，機械能守恒，則得：mg（L-Lcosθ）=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
在D點，由牛頓第二定律可得：F_m-mg=$\frac{m{v}_{D}^{2}}{L}$
聯立可得：擺線的最大拉力為 F_m=2mg=10N 
（2）小球不脫圓軌道分兩種情況：
①要保證小球能達到A孔，設小球到達A孔的速度恰好為零，
對小球從D到A的過程，由動能定理可得：-μ₁mgs=0-$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
解得：μ₁=0.5 
若進入A孔的速度較小，那么將會在圓心以下做等幅擺動，不脫離軌道．其臨界情況為到達圓心等高處速度為零，由機械能守恒可得：$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$=mgR
由動能定理可得：-μ₂mgs=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
解得：μ₂=0.35
②若小球能過圓軌道的最高點則不會脫離軌道，在圓周的最高點由牛頓第二定律可得：$mg=m\frac{v^2}{R}$
由動能定理可得：$-{μ_3}mgs-2mgR=\frac{1}{2}m{v^2}-\frac{1}{2}m{v_D}^2$
解得：μ₃=0.125 
綜上，所以摩擦因數μ的范圍為：0.35≤μ≤0.5或者0＜μ≤0.125 
答：（1）擺線能承受的最大拉力為10N；
（2）粗糙水平面摩擦因數μ的范圍為：0.35≤μ≤0.5或者0＜μ≤0.125．

點評 本題考查機械能守恒定律及動能定理、向心力公式等；關鍵是要全面分析不能漏解，要知道擺球能進入圓軌道不脫離軌道，有兩種情況，再根據牛頓第二定律、機械能守恒和動能定理結合進行求解．