Question

13．在一次國(guó)際城市運(yùn)動(dòng)會(huì)中，要求運(yùn)動(dòng)員從高為H的平臺(tái)上A點(diǎn)由靜止出發(fā)，沿著動(dòng)摩擦因數(shù)為μ的滑道向下運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)后水平滑出，最后落在水池中，如圖所示．設(shè)滑道的水平距離為L(zhǎng)，B點(diǎn)的高度h可由運(yùn)動(dòng)員自由調(diào)節(jié)（取g=10m/s²）．求：
（1）運(yùn)動(dòng)員到達(dá)B點(diǎn)的速度與高度h的關(guān)系；
（2）運(yùn)動(dòng)員要求到最大水平運(yùn)動(dòng)距離，B點(diǎn)的高度h應(yīng)調(diào)為多大？
（3）對(duì)應(yīng)的最大水平距離X_max為多少？

Answer 1

分析 清楚運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)過程，可運(yùn)用動(dòng)能定理研究A到B得過程把運(yùn)動(dòng)員到達(dá)B點(diǎn)的速度與高度h的關(guān)系聯(lián)系起來(lái)．
求s的最大值，方法是把這個(gè)s先通過平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律表示出來(lái)，通過數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)（可以配方）求極值．

解答 解：（1）設(shè)AB與水平面夾角為θ，A運(yùn)動(dòng)到B過程，摩擦阻力做功為：
W_f=μmgcosθ$\frac{L}{cosθ}$=μmgL
由A運(yùn)動(dòng)到B過程應(yīng)用動(dòng)能定理有：
mg（H-h）-μmgL=$\frac{1}{2}$mv_B²-0
得：v_B=$\sqrt{2g（H-h-μL）}$
（2、3）離開B點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)
豎直方向：h=$\frac{1}{2}$gt²
解得：t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$．
水平方向：x=v_Bt
解得：x=2$\sqrt{（H-h-μL）h}$=$2\sqrt{-{h}^{2}+（H+μL）h}$
當(dāng)h=$\frac{H+μL}{2}$時(shí)，x有最大值，x_max=H-μL
所以對(duì)應(yīng)的最大水平距離為X_max=H-μL+L．
答：（1）運(yùn)動(dòng)員到達(dá)B點(diǎn)的速度與高度h的關(guān)系是v_B=$\sqrt{2g（H-h-μL）}$；
（2）運(yùn)動(dòng)員要求到最大水平運(yùn)動(dòng)距離，B點(diǎn)的高度h應(yīng)調(diào)為$2\sqrt{-{h}^{2}+（H+μL）h}$；
（3）對(duì)應(yīng)的最大水平距離X_max為H-μL+L．

點(diǎn)評(píng) 第一問中也可以用牛頓第二定律結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解，哪個(gè)簡(jiǎn)便你可以去嘗試比較．
求一個(gè)物理量的極值，常見的方法是把這個(gè)物理量先表示出來(lái)，通過數(shù)學(xué)知識(shí)（可以配方）求極值．