Question

3．如圖所示，某行星繞太陽公轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道為橢圓，其近日點(diǎn)A和遠(yuǎn)日點(diǎn)B離太陽的距離分別為r_A和r_B．已知太陽質(zhì)量為M，引力常量為G．（取無窮遠(yuǎn)處為零勢能點(diǎn)時(shí)，兩質(zhì)量分別為m₁、m₂天體間的引力勢能表達(dá)式為E_p=-G$\frac{{{m_1}{m_2}}}{r}$，其中r為兩天體中心間的距離．）
（1）請結(jié)合開普勒第三定律求出該行星軌道半長軸a的三次方與它的公轉(zhuǎn)周期T的平方的比值．
（2）請結(jié)合開普勒第二定律求出該行星在近日點(diǎn)A點(diǎn)的速度大小．

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力推導(dǎo)
根據(jù)開普勒第二定律：行星與太陽的連線在相等時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等，取極短時(shí)間△t，根據(jù)“面積”相等列方程得出遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)與近日點(diǎn)時(shí)的速度比值求解

解答 解：（1）根據(jù)開普勒第三定律，所有行星軌道半長軸a的三次方與它的公轉(zhuǎn)周期T的平方的比值相等．                                                           
對于軌道半徑為a的圓軌道，根據(jù)牛頓第二定律，有$G\frac{Mm}{a^2}=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}a$
可得$\frac{a^3}{T^2}=\frac{GM}{{4{π^2}}}$
所以該行星軌道半長軸a的三次方與它的公轉(zhuǎn)周期T的平方的比值也為$\frac{a^3}{T^2}=\frac{GM}{{4{π^2}}}$
（2）根據(jù)開普勒第二定律，行星與太陽的連線在相等時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等，取極短時(shí)間△t，根據(jù)“面積”相等，由$\frac{1}{2}{v}_{A}{r}_{A}△t=\frac{1}{2}{v}_{B}{r}_{B}△t$
根據(jù)機(jī)械能守恒有$\frac{1}{2}mv_A^2-G\frac{Mm}{r_A}=\frac{1}{2}mv_B^2-G\frac{Mm}{r_B}$
聯(lián)立以上二式，解得${v_A}=\sqrt{\frac{{2GM{r_B}}}{{{r_A}（{r_A}+{r_B}）}}}$
答：（1）如上
（2）該行星在近日點(diǎn)A點(diǎn)的速度大小$\sqrt{\frac{2GM{r}_{B}}{{r}_{A}（{r}_{A}+{r}_{B}）}}$

點(diǎn)評 本題考查對開普勒第二定律的理解和應(yīng)用能力．在極短時(shí)間內(nèi)，行星與太陽連線掃過的范圍近似為三角形