Question

4．如圖所示，一個(gè)豎直轉(zhuǎn)動(dòng)軸與地面上的Q點(diǎn)接觸，PQ=$\frac{68}{45}$l，長(zhǎng)為l的輕繩一端固定在轉(zhuǎn)動(dòng)軸上的P點(diǎn)，另一端系著一質(zhì)量為m的小球，轉(zhuǎn)動(dòng)軸不轉(zhuǎn)動(dòng)，給小球施加一向右緩慢拉動(dòng)的水平拉力，當(dāng)輕繩與轉(zhuǎn)動(dòng)軸的夾角為37°時(shí)，輕繩即將斷裂，重力加速度為g．不計(jì)空氣阻力．
（1）求輕繩能承受的最大拉力；
（2）若小球m隨轉(zhuǎn)動(dòng)軸作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，求小球勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的最大角速度；
（3）若轉(zhuǎn)動(dòng)軸達(dá)到最大速度時(shí)，輕繩斷裂，小球落地后速度立即減為零，求落地點(diǎn)與Q點(diǎn)間的距離．

Answer 1

分析 （1）小球受重力、繩子的拉力和水平拉力平衡，根據(jù)共點(diǎn)力平衡求解輕繩能承受的最大拉力．
（2）若小球m隨轉(zhuǎn)動(dòng)軸作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)輕繩拉力達(dá)到最大時(shí)角速度達(dá)到最大值，根據(jù)牛頓第二定律：小球重力和拉力的合力提供向心力，列式求解．
（3）輕繩斷裂后小球做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出平拋運(yùn)動(dòng)的水平距離，再由幾何知識(shí)求解落地點(diǎn)與Q點(diǎn)間的距離．

解答 解：（1）輕繩即將斷裂時(shí)，根據(jù)平衡條件，應(yīng)滿足
  Tcos37°=mg
得輕繩能承受的最大拉力為 T=$\frac{5}{4}$mg
（2）若小球m隨轉(zhuǎn)動(dòng)軸作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)輕繩拉力達(dá)到最大時(shí)角速度達(dá)到最大值，此時(shí)繩子與豎直方向的夾角為 α，則cosα=$\frac{mg}{T}$=$\frac{4}{5}$，sinα=$\frac{3}{5}$
由牛頓第二定律有   $\sqrt{{T}^{2}-（mg）^{2}}$=mω²lsinα
解得小球勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的最大角速度為ω=$\sqrt{\frac{5g}{4l}}$；
（3）最大速度為 v=ωlsinα=$\sqrt{\frac{9}{20}gl}$
輕繩斷裂后小球做平拋運(yùn)動(dòng)，則有
  $\frac{68}{45}$l-lcosα=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
  x=vt
解得 x=$\frac{4}{5}$l
故落地點(diǎn)與Q點(diǎn)間的距離為 S=$\sqrt{{x}^{2}+（lsinα）^{2}}$=l
答：
（1）輕繩能承受的最大拉力是$\frac{5}{4}$mg；
（2）若小球m隨轉(zhuǎn)動(dòng)軸作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，小球勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的最大角速度是$\sqrt{\frac{5g}{4l}}$；
（3）若轉(zhuǎn)動(dòng)軸達(dá)到最大速度時(shí)，輕繩斷裂，小球落地后速度立即減為零，落地點(diǎn)與Q點(diǎn)間的距離是l．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵搞清向心力的來(lái)源，抓住臨界狀態(tài)的特點(diǎn)，運(yùn)用牛頓第二定律進(jìn)行求解．