Question

19．利用萬有引力定律“稱量”地球的質(zhì)量．
（1）萬有引力定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式是F=$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$．
（2）英國物理學(xué)家卡文迪許在實驗室測量了幾個鉛球之間的萬有引力，他把自己的實驗說成是“稱量地球的質(zhì)量”，他對“稱量”地球質(zhì)量做出的貢獻(xiàn)是測出了引力常量．
（3）“科學(xué)真是迷人，根據(jù)零星的事實，增添一點猜想，竟能贏得那么多收獲！”這是著名文學(xué)家馬克•吐溫對萬有引力理論成就的高度稱贊．地球的質(zhì)量不可能用天平稱量，但可以通過萬有引力定律來“稱量”．
甲同學(xué)說：如果知道地球半徑R、引力常量G、地球表面的重力加速度g，就能“稱量”出地球質(zhì)量．
乙同學(xué)說：如果知道人造衛(wèi)星繞地球的運行周期T、軌道半徑r、引力常量G，也能“稱量”出地球質(zhì)量．
請你任選一位同學(xué)的說法，推導(dǎo)出“稱量”地球質(zhì)量M的表達(dá)式．并說明你進(jìn)行這種推導(dǎo)的簡化條件．

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力等于重力，結(jié)合地球表面的重力加速度和地球的半徑求出地球的質(zhì)量．根據(jù)萬有引力提供向心力，結(jié)合軌道半徑和周期求出地球的質(zhì)量．

解答 解：（1）萬有引力定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式是F=$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$．
（2）卡文迪許把自己的實驗說成是“稱量地球的質(zhì)量”，他對“稱量”地球質(zhì)量做出的貢獻(xiàn)是測出了引力常量．
（3）對甲，根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得，地球的質(zhì)量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$．
對乙，根據(jù)$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，地球的質(zhì)量M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$．
故答案為：（1）$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$，（2）引力常量，（3）甲，M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$；乙，M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力定律的兩個重要理論：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，并能靈活運用．