Question

9．如圖，矩形單匝導(dǎo)線框abcd的質(zhì)量為m，電阻為R，其ab邊長(zhǎng)L₁、bc邊長(zhǎng)L₂，開(kāi)始時(shí)線框靜止于豎直平面內(nèi)且ab邊水平，線框下方一定距離處的一矩形區(qū)域內(nèi)存在方向垂直于線框平面、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)上、下邊界均與線框ab邊平行（磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)的高度大于L₂），現(xiàn)將線框由靜止起釋放，設(shè)線框下落過(guò)程中ab邊與磁場(chǎng)邊界始終平行且方向水平，已知ab邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)和剛穿出磁場(chǎng)時(shí)，線框都作減速直線運(yùn)動(dòng)，加速度大小均為$\frac{g}{4}$，而cd邊出磁場(chǎng)前瞬間，線框加速度恰好為零，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g．求：
（1）在線框進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程中，通過(guò)線框?qū)Ь�某一截面的電量q；
（2）在cd邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，線框速度大小v；
（3）線框穿越磁場(chǎng)區(qū)域過(guò)程中，線框所產(chǎn)生的熱量Q；
（4）磁場(chǎng)區(qū)域的高度H；
（5）線框從開(kāi)始下落到離開(kāi)磁場(chǎng)過(guò)程所經(jīng)歷的時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和電流的定義式求解電量q．
（2）根據(jù)線框進(jìn)入和穿出磁場(chǎng)過(guò)程的相似性知道，cd邊進(jìn)磁場(chǎng)瞬間加速度為零，由安培力與速度的關(guān)系及平衡條件求線框的速度大小v．
（3）根據(jù)牛頓第二定律和安培力與速度的關(guān)系式，求出線框剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度，再由能量守恒定律求熱量Q．
（4）線框完全在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)不產(chǎn)生感應(yīng)電流，不受安培力，遵守機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律求H．
（5）研究線框進(jìn)入磁場(chǎng)的過(guò)程，由牛頓第二定律和加速度的定義式，運(yùn)用積分法求時(shí)間．由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移時(shí)間公式求出線框從cd邊剛磁場(chǎng)到ab邊剛出磁場(chǎng)的時(shí)間．從而可求得總時(shí)間．

解答 解：（1）在線框進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程中，通過(guò)線框?qū)Ь�某一截面的電量 q=$\overline{I}t$=$\frac{\overline{E}}{R}t$=$\frac{B{L}_{1}\overline{v}t}{R}$=$\frac{B{L}_{1}{L}_{2}}{R}$
（2）根據(jù)線框進(jìn)入和穿出磁場(chǎng)過(guò)程的相似性知道，cd邊進(jìn)磁場(chǎng)瞬間加速度為零，則有
  mg=F_安；
又安培力 F_安=BIL₁=B$\frac{B{L}_{1}v}{R}$L₁=$\frac{{B}^{2}{L}_{1}^{2}v}{R}$
聯(lián)立解得 v=$\frac{mgR}{{B}^{2}{L}_{1}^{2}}$
（3）設(shè)線框剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v₀．
根據(jù)牛頓第二定律得：$\frac{{B}^{2}{L}_{1}^{2}{v}_{0}}{R}$-mg=ma=m$•\frac{g}{4}$
解得 v₀=$\frac{5mgR}{4{B}^{2}{L}_{1}^{2}}$
線框穿越磁場(chǎng)區(qū)域過(guò)程中，根據(jù)能量守恒定律得
  Q=2×[（$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$）+mgL₁]=$\frac{9{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{32{B}^{4}{L}_{1}^{4}}$+2mgL₁
（4）對(duì)于線框完全在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有
    v₀²-v²=2g（H-2L₂）
解得 H=$\frac{9{m}^{2}g{R}^{2}}{32{B}^{4}{L}_{1}^{4}}$+2L₂．
（5）線框自由下落的時(shí)間 t₁=$\frac{{v}_{0}}{g}$=$\frac{5mR}{4{B}^{2}{L}_{1}^{2}}$
研究線框進(jìn)入磁場(chǎng)的過(guò)程，由牛頓第二定律得
  $\frac{{B}^{2}{L}_{1}^{2}{v}_{0}}{R}$-mg=ma=m$\frac{△v}{△t}$
即 $\frac{{B}^{2}{L}_{1}^{2}{v}_{0}}{R}$△t-mg△t=m△v
兩邊求和得：$\sum_{\;}^{\;}$（$\frac{{B}^{2}{L}_{1}^{2}{v}_{0}}{R}$△t）-$\sum_{\;}^{\;}$（mg△t）=$\sum_{\;}^{\;}$m△v
可得 $\frac{{B}^{2}{L}_{1}^{2}}{R}$•L₂-mgt₂=m（v₀-v）
解得線框進(jìn)入磁場(chǎng)的時(shí)間 t₂=$\frac{{B}^{2}{L}_{1}^{2}{L}_{2}}{mgR}$-$\frac{mR}{{B}^{2}{L}_{1}^{2}}$
線框從cd邊剛磁場(chǎng)到ab邊剛出磁場(chǎng)的時(shí)間設(shè)為t₃．
則 t₃=$\frac{{v}_{0}-v}{g}$=$\frac{mR}{4{B}^{2}{L}_{1}^{2}}$
故線框從開(kāi)始下落到離開(kāi)磁場(chǎng)過(guò)程所經(jīng)歷的時(shí)間 t=t₁+2t₂+t₃=$\frac{2{B}^{2}{L}_{1}^{2}{L}_{2}}{mgR}$-$\frac{mR}{2{B}^{2}{L}_{1}^{2}}$．
答：
（1）在線框進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程中，通過(guò)線框?qū)Ь�某一截面的電量q是$\frac{B{L}_{1}{L}_{2}}{R}$；
（2）在cd邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，線框速度大小v是$\frac{mgR}{{B}^{2}{L}_{1}^{2}}$；
（3）線框穿越磁場(chǎng)區(qū)域過(guò)程中，線框所產(chǎn)生的熱量Q是$\frac{9{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{32{B}^{4}{L}_{1}^{4}}$+2mgL₁；
（4）磁場(chǎng)區(qū)域的高度H是$\frac{9{m}^{2}g{R}^{2}}{32{B}^{4}{L}_{1}^{4}}$+2L₂；
（5）線框從開(kāi)始下落到離開(kāi)磁場(chǎng)過(guò)程所經(jīng)歷的時(shí)間t是$\frac{2{B}^{2}{L}_{1}^{2}{L}_{2}}{mgR}$-$\frac{mR}{2{B}^{2}{L}_{1}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題要分析清楚線框的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，熟練推導(dǎo)出電量和安培力的表達(dá)式，運(yùn)用牛頓第二定律和加速度的定義式求線框進(jìn)入磁場(chǎng)的時(shí)間是關(guān)鍵．