Question

【題目】空間某區(qū)域存在勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在此區(qū)域建立直角坐標(biāo)系O-xyz，如圖所示，勻強(qiáng)電場(chǎng)沿x方向，電場(chǎng)強(qiáng)度，勻強(qiáng)磁場(chǎng)沿z方向，磁感應(yīng)強(qiáng)度，E0、B0分別為已知常量，分別為x方向和z方向的單位矢量。

（1）有一束帶電量都為+q、質(zhì)量都為m的粒子，同時(shí)從Oyz平面內(nèi)的某點(diǎn)射出，它們的初速度均在Oyz平面內(nèi)，速度的大小和方向各不相同，問(wèn)經(jīng)過(guò)多少時(shí)間這些粒子又能同時(shí)回到Oyz平面內(nèi)。

（2）現(xiàn)在該區(qū)域內(nèi)再增加一個(gè)沿x方向隨時(shí)間變化的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度，式中，若有一電荷量為正q、質(zhì)量為m的粒子，在t=0時(shí)刻從坐標(biāo)原點(diǎn)O射出，初速度v0在Oyz平面內(nèi)，試求以后此粒子的坐標(biāo)隨時(shí)間變化的規(guī)律。不計(jì)粒子所受重力以及各帶電粒子之間的相互作用，也不考慮變化的電場(chǎng)產(chǎn)生的磁場(chǎng)。

Answer 1

【答案】（1）粒子運(yùn)動(dòng)的周期與粒子在y方向的初速度無(wú)關(guān)．經(jīng)過(guò)時(shí)間T或T的整數(shù)倍所考察的粒子就能同時(shí)回到Oyz平面.（2）

【解析】

1．根據(jù)題意，粒子的初速度只有y方向和z方向的分量，設(shè)它們?yōu)?/span>和.因?yàn)榱Ｗ釉?/span>z方向不受電場(chǎng)力和磁場(chǎng)力作用，故粒子在z方向以初速度作勻速運(yùn)動(dòng).

粒子在Oxy面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)可以看作由以下兩部分運(yùn)動(dòng)的合成：可把粒子在y方向的初速度表示為

(1)

其中

(2)

沿y負(fù)方向．與相關(guān)的磁場(chǎng)力

(3)

沿x負(fù)方向.粒子受到的電場(chǎng)力

(4)

沿x正方向．由(2)、(3)、(4)式可知，粒子在x方向受到的電場(chǎng)力和磁場(chǎng)力正好抵消，故粒子以大小為的速度沿y負(fù)方向運(yùn)動(dòng)．除此之外，由（1）式可知，粒子還具有初速度

(5)

沿y正方向，與相關(guān)的磁場(chǎng)力使粒子以速率在Oxy面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，以表示圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，有

(6)

可得

(7)

由周期的定義和(7)式可得圓周運(yùn)動(dòng)的周期

(8)

(8)式表明，粒子運(yùn)動(dòng)的周期與粒子在y方向的初速度無(wú)關(guān)．經(jīng)過(guò)時(shí)間T或T的整數(shù)倍所考察的粒子就能同時(shí)回到Oyz平面.

2．增加的電場(chǎng)對(duì)粒子在Oxy平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)無(wú)影響，但粒子在z方向要受到此電場(chǎng)力作用．以表示在此電場(chǎng)力作用下的加速度，有

(9)

或

(10)

這是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的加速度，因而有

（11）

由(10)、（11）可得

(12)

因未增加電場(chǎng)時(shí)，粒子在z方向作初速度為的勻速運(yùn)動(dòng)，增加電場(chǎng)后，粒子在z方向的運(yùn)動(dòng)是勻速運(yùn)動(dòng)與簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的疊加，即有

（13）

粒子在Oxy平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)不受電場(chǎng)的影響．設(shè)為粒子在Oxy平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)的角速度，則有

(14)

由圖示可得與圓周運(yùn)動(dòng)相聯(lián)系的粒子坐標(biāo)隨時(shí)間t的變化關(guān)系

(15)

(16)

考慮到粒子在y方向還具有速度為的勻速運(yùn)動(dòng)，并利用(2)、(5)、(7)、(14)以及己知條件，可得帶電粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律：

(17)

(18)

(19)