Question

4．“嫦娥三號”于2013年12月2日凌晨在四川省西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，先后經過近月制動、環(huán)月圓軌道飛行（軌道高度距月表100km）、變軌控制進入環(huán)月橢圓軌道運行等動作，在著陸準備階段“嫦娥三號”從距月表15km的近月點（著陸制動點）開始在7500N的變推力空間發(fā)動機的作用下開始減速，在距月表100m時懸停，借“眼睛”觀測著陸區(qū)狀況，由于月球表面沒有空氣，所以不能使用降落傘實現“嫦娥三號”的軟著陸，而用空間發(fā)動機向下噴氣實現軟著陸又會吹起月球表的塵埃而影響“嫦娥三號”著陸后的工作，為此要在“嫦娥三號”落至距月表4m高時再次使其速度減為零，并關閉所有發(fā)動機，使“嫦娥三號”直接落向月表．
     已知月球半徑是地球半徑的$\frac{3}{11}$，質量是地球質量的$\frac{1}{81}$，地球表面的重力加速度為g=10m/s²，地球的半徑R=6.4×10⁶m，“嫦娥三號”的質量m=140kg．求：
（1）“嫦娥三號”在環(huán)月圓軌道上運動的速度大��；（保留2位有效數字）
（2）“嫦娥三號”軟著陸時到達月表的速度的大�。唬ūＡ�2位有效數字）
（3）從懸停在100m處至落到月球表面的過程中，空間發(fā)動機對“嫦娥三號”所做的功．

Answer 1

分析 （1）在星球表面根據萬有引力與重力相等由地球表面重力加速度求得月球表面重力加速度，再根據萬有引力提供嫦娥三號圓周運動向心力求得嫦娥三號在軌道上的速度大��；
（2）根據自由落體由月球表面的重力加速度和下落高度求得嫦娥三號到達月球表面的速度大��；
（3）在此過程中只有重力和發(fā)動機對嫦娥三號做功，根據動能定理求得發(fā)動機所做的功即可．

解答 解：（1）據星球表面重力與萬有引力相等有
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$
可得星球表面的重力加速度g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$
所以可得月球表面的重力加速度$g′=\frac{G\frac{1}{81}M}{（\frac{3}{11}R）^{2}}=\frac{121}{729}g=1.6m/{s}^{2}$
對于月球的半徑R′=$\frac{3}{11}R=\frac{3}{11}×6.4×1{0}^{6}m$=1.75×10⁶m
所以有：$G\frac{mM′}{R{′}^{2}}=mg′$
在環(huán)月軌道上有：$G\frac{mM′}{（R′+h）^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R′+h}$
可得$v=\sqrt{\frac{GM′}{R′+h}}$=$\sqrt{\frac{g′R{′}^{2}}{R′+h}}$=$\sqrt{\frac{1.6×（1.75×1{0}^{6}）^{2}}{1.75×1{0}^{6}+100×1{0}^{3}}}m/s$=1.6×10³m/s
（2）嫦娥三號軟著陸過程中為自由落體運動，據自由落體運動規(guī)律可知，到達月球表面的速度
${v}_{1}=\sqrt{2g′h′}=\sqrt{2×1.6×4}m/s$=3.6m/s
（3）從懸停在100m處至落到月球表面的過程中，只有月球重力和發(fā)動機對嫦娥三號做功，根據動能定理可得：
mg′H+W=0-0
可得W=-mg′H=-140×1.6×（100-4）J=-21504J
答：（1）“嫦娥三號”在環(huán)月圓軌道上運動的速度大小1.6×10³m/s；
（2）“嫦娥三號”軟著陸時到達月表的速度的大小為3.6m/s；
（3）從懸停在100m處至落到月球表面的過程中，空間發(fā)動機對“嫦娥三號”所做的功為-21504J．

點評 萬有引力應用問題主要從萬有引力與重力相等和萬有引力提供圓周運動向心力兩方面入手求解，注意結合運動學規(guī)律和機械能守恒．