Question

14．用天文望遠鏡長期觀測，人們在宇宙中發(fā)現(xiàn)了許多雙星系統(tǒng)，通過對它們的研究，使我們對宇宙中物質存在的形式和分布有了較深刻的認識，雙星系統(tǒng)是由兩個星體構成，其中每個星體的線度都小于兩星體間的距離，一般雙星系統(tǒng)距離其它星體很遠，可以當做孤立系統(tǒng)處理，現(xiàn)根據(jù)對某一雙星系統(tǒng)的光度學測量確定，該雙星系統(tǒng)中每個星體的質量都是M，兩者相距L，它們正圍繞兩者連線的中點做圓周運動．萬有引力常量為G．
（1）計算該雙星系統(tǒng)的運動周期T_計算．
（2）若實驗上觀測到的運動周期為T_觀測，且T_觀測：T_計算=1：$\sqrt{N}$（N＞1），為了解釋T_觀測與T_計算的不同，目前有一種流行的理論認為，在宇宙中可能存在一種望遠鏡觀測不到的暗物質，作為一種簡化模型，我們假定在這兩個星體連線為直徑的球體內均勻分布著暗物質，而不考慮其它暗物質的影響，試根據(jù)這一模型和上述觀測結果確定該星系間這種暗物質的密度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對稱性可知，兩顆星都繞系統(tǒng)中心做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力列式求解；
（2）暗物質引力和星星引力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解出暗物質的質量，再求解密度．

解答 解：
（1）雙星均繞它們連線的中點做圓周運動，設運動的速率為v，得$m\frac{{v}^{2}}{\frac{L}{2}}=G\frac{mm}{{L}^{2}}$      ①
解得：$v=\sqrt{\frac{Gm}{2L}}$      ②
則周期為：
T_計算=$\frac{2π•\frac{L}{2}}{v}$=$πL\sqrt{\frac{2L}{Gm}}$     ③
（2）根據(jù)觀測結果，星體的運動周期：
${T}_{觀測}=\frac{1}{\sqrt{N}}{T}_{計算}＜{T}_{計算}$     ④
這種差異是由雙星內均勻分布的暗物質引起的，均勻分布在球體內的暗物質對雙星系統(tǒng)的作用與一質量等于球內暗物質的總質量m′，位于中點O處的質點的作用相同．考慮暗物質作用后雙星的速度即為觀察到的速度v_觀測，則有$m\frac{{v}_{觀測}^{2}}{\frac{L}{2}}=G\frac{mM}{{L}^{2}}+G\frac{mm′}{（\frac{L}{2}）^{2}}$     ⑤
解得：
${v}_{觀測}=\sqrt{\frac{G（m+4m′）}{2L}}$     ⑥
因為在周長一定時，周期和速度成反比，由④式得 $\frac{1}{{v}_{觀測}}=\frac{1}{\sqrt{N}}$      ⑦
把②⑥式代入⑦式得：
$m′=\frac{N-1}{4}m$
設所求暗物質的密度為ρ，則：$\frac{4}{3}π（\frac{L}{3}）^{3}ρ=\frac{N-1}{4}m$
解得：
ρ=$\frac{3（N-1）m}{2π{L}^{3}}$
答：
（1）該雙星系統(tǒng)的運動周期T_計算=$πL\sqrt{\frac{2L}{Gm}}$；
（2）該星系間這種暗物質的密度為$\frac{3（N-1）m}{2π{L}^{3}}$．

點評 本題是雙星問題，要抓住雙星系統(tǒng)的條件：角速度與周期相同，運用牛頓第二定律采用隔離法進行研究，關鍵找出向心力來源，然后根據(jù)牛頓第二定律列方程求解，要細心，較難．