Question

14．用天文望遠(yuǎn)鏡長(zhǎng)期觀(guān)測(cè)，人們?cè)谟钪嬷邪l(fā)現(xiàn)了許多雙星系統(tǒng)，通過(guò)對(duì)它們的研究，使我們對(duì)宇宙中物質(zhì)存在的形式和分布有了較深刻的認(rèn)識(shí)，雙星系統(tǒng)是由兩個(gè)星體構(gòu)成，其中每個(gè)星體的線(xiàn)度都小于兩星體間的距離，一般雙星系統(tǒng)距離其它星體很遠(yuǎn)，可以當(dāng)做孤立系統(tǒng)處理，現(xiàn)根據(jù)對(duì)某一雙星系統(tǒng)的光度學(xué)測(cè)量確定，該雙星系統(tǒng)中每個(gè)星體的質(zhì)量都是M，兩者相距L，它們正圍繞兩者連線(xiàn)的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)．萬(wàn)有引力常量為G．
（1）計(jì)算該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期T_計(jì)算．
（2）若實(shí)驗(yàn)上觀(guān)測(cè)到的運(yùn)動(dòng)周期為T(mén)_{觀(guān)測(cè)}，且T_{觀(guān)測(cè)}：T_計(jì)算=1：$\sqrt{N}$（N＞1），為了解釋T_{觀(guān)測(cè)}與T_計(jì)算的不同，目前有一種流行的理論認(rèn)為，在宇宙中可能存在一種望遠(yuǎn)鏡觀(guān)測(cè)不到的暗物質(zhì)，作為一種簡(jiǎn)化模型，我們假定在這兩個(gè)星體連線(xiàn)為直徑的球體內(nèi)均勻分布著暗物質(zhì)，而不考慮其它暗物質(zhì)的影響，試根據(jù)這一模型和上述觀(guān)測(cè)結(jié)果確定該星系間這種暗物質(zhì)的密度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，兩顆星都繞系統(tǒng)中心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力列式求解；
（2）暗物質(zhì)引力和星星引力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解出暗物質(zhì)的質(zhì)量，再求解密度．

解答 解：
（1）雙星均繞它們連線(xiàn)的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的速率為v，得$m\frac{{v}^{2}}{\frac{L}{2}}=G\frac{mm}{{L}^{2}}$      ①
解得：$v=\sqrt{\frac{Gm}{2L}}$      ②
則周期為：
T_計(jì)算=$\frac{2π•\frac{L}{2}}{v}$=$πL\sqrt{\frac{2L}{Gm}}$     ③
（2）根據(jù)觀(guān)測(cè)結(jié)果，星體的運(yùn)動(dòng)周期：
${T}_{觀(guān)測(cè)}=\frac{1}{\sqrt{N}}{T}_{計(jì)算}＜{T}_{計(jì)算}$     ④
這種差異是由雙星內(nèi)均勻分布的暗物質(zhì)引起的，均勻分布在球體內(nèi)的暗物質(zhì)對(duì)雙星系統(tǒng)的作用與一質(zhì)量等于球內(nèi)暗物質(zhì)的總質(zhì)量m′，位于中點(diǎn)O處的質(zhì)點(diǎn)的作用相同．考慮暗物質(zhì)作用后雙星的速度即為觀(guān)察到的速度v_{觀(guān)測(cè)}，則有$m\frac{{v}_{觀(guān)測(cè)}^{2}}{\frac{L}{2}}=G\frac{mM}{{L}^{2}}+G\frac{mm′}{（\frac{L}{2}）^{2}}$     ⑤
解得：
${v}_{觀(guān)測(cè)}=\sqrt{\frac{G（m+4m′）}{2L}}$     ⑥
因?yàn)樵谥荛L(zhǎng)一定時(shí)，周期和速度成反比，由④式得 $\frac{1}{{v}_{觀(guān)測(cè)}}=\frac{1}{\sqrt{N}}$      ⑦
把②⑥式代入⑦式得：
$m′=\frac{N-1}{4}m$
設(shè)所求暗物質(zhì)的密度為ρ，則：$\frac{4}{3}π（\frac{L}{3}）^{3}ρ=\frac{N-1}{4}m$
解得：
ρ=$\frac{3（N-1）m}{2π{L}^{3}}$
答：
（1）該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期T_計(jì)算=$πL\sqrt{\frac{2L}{Gm}}$；
（2）該星系間這種暗物質(zhì)的密度為$\frac{3（N-1）m}{2π{L}^{3}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是雙星問(wèn)題，要抓住雙星系統(tǒng)的條件：角速度與周期相同，運(yùn)用牛頓第二定律采用隔離法進(jìn)行研究，關(guān)鍵找出向心力來(lái)源，然后根據(jù)牛頓第二定律列方程求解，要細(xì)心，較難．