Question

4．兩根相距L=0.5m的足夠長的金屬導軌如圖甲所示放置，他們各有一邊在同一水平面上，另一邊垂直于水平面．金屬細桿ab、cd的質量均為m=0.05kg，電阻均為R=1.0Ω，它們與導軌垂直接觸形成閉合回路，桿與導軌之間的動摩擦因數μ=0.5，導軌電阻不計．整個裝置處于磁感應強度大小B=1.0T、方向豎直向上的勻強磁場中．當ab桿在平行于水平導軌的拉力F作用下沿導軌向右運動時，從某一時刻開始釋放cd桿，并且開始計時，cd桿運動速度c隨時間變化的圖象如圖乙所示（在0～1.0s和2.0～3.0s內，cd做勻變速直線運動．g=10m/s² ）．求：
（1）在0～1.0s時間內，回路中感應電流I₁的大��；
（2）在0～3.0s時間內，ab桿在水平導軌上運動的最大速度V_m；
（3）已知1.0～2.0s內，ab桿做勻加速直線運動，寫出1.0～2.0s內拉力F隨時間t變化的關系式，并在圖丙中畫出在0～3.0s內，拉力F隨時間t變化的圖象．（不需要寫出計算過程，只需寫出表達式和畫出圖線）

Answer 1

分析 （1）由圖看出，在0～1.0s時間內，cd桿做勻加速直線運動，所受的安培力是恒力，根據速度圖象的斜率求出加速度，由牛頓第二定律和安培力公式求解回路中感應電流的大��；
（2）在2s～3s時間內，cd桿做勻減速直線運動，安培力最大．由圖象的斜率求出加速度，根據牛頓第二定律可求出回路中感應電流的大��；由閉合電路歐姆定律
（3）分段由牛頓第二定律求出拉力，再作出圖象．

解答 解：（1）在0～1s時間內，cd桿向下做勻加速運動，
由乙圖可知：${a_1}=\frac{{{V_1}-{V_0}}}{t}=4m/{s^2}$，
對cd桿進行受力分析，根據牛頓第二定律有：
在豎直方向上：mg-f₁=ma₁，
在水平方向上：N₁-F_安1=0   F_安1=I₁LB  f₁=μN₁=μBI₁L，
解得：${I_1}=\frac{{m（g-{a_1}）}}{μBL}=\frac{0.05×（10-4）}{0.5×1×0.5}=1.2A$；   
（2）在2～3s時間內，cd桿向下做勻減速運動時，
由乙圖可知，加速度：${a_3}=\frac{{{V_2}-{V_3}}}{t}=4m/{s^2}$，
對cd桿進行受力分析，根據牛頓第二定律有：
在豎直方向上：f₃-mg=ma₃ ，
在水平方向上：N₃-F_安3=0  F_安3=I₃LB  f₃=μN₃=μBI₃L，
解得：${I_3}=\frac{{m（g+{a_3}）}}{μBL}=\frac{0.05×（10+4）}{0.5×1×0.5}=2.8A$，
電動勢：E₃=I₃×2R=5.6V，感應電動勢：E₃=BLV₃，
ab桿的最大速度為：${V_m}={V_3}=\frac{E_3}{BL}=11.2m/s$；  
（3）在0～1.0s內，ab桿做勻速運動：F₁=BI₁L+μmg=0.85N，${V_1}=\frac{{2{I_1}R}}{BL}=4.8m/s$，
在2.0～3.0s內，ab桿做勻速運動：F₃=BI₃L+μmg=1.65N，${V_3}=\frac{{2{I_3}R}}{BL}=11.2m/s$，
在1～2s內，ab桿做勻加速運動，加速度為：${a_2}=\frac{{{V_3}-{V_1}}}{t_2}=6.4m/{s^2}$，
對ab桿分析，根據牛頓第二定律有：$F-μmg-\frac{{{B^2}{L^2}[{V_1}+{a_2}（t-1）]}}{2R}=m{a_2}$（1s＜t＜2s）
所以表達式為：F=1.17+0.8（t-1）（1s＜t＜2s）
當t=1s時拉力為：F_2min=1.17N
當t=2s時拉力為：F_2max=1.97N
在0～3.0s內，拉力F隨時間t變化的圖象如圖所示：

答：（1）在0～1.0s時間內，回路中感應電流I₁的大小1.2A；
（2）在0～3.0s時間內，ab桿在水平導軌上運動的最大速度V_m為11.2m/s；
（3）已知1.0～2.0s內，ab桿做勻加速直線運動，1.0～2.0s內拉力F隨時間t變化的關系式為：F=1.17+0.8（t-1）（1s＜t＜2s），在0～3.0s內，拉力F隨時間t變化的圖象如圖所示．

點評 本題涉及電磁感應過程中的復雜受力分析，解決這類問題的關鍵是，根據法拉第電磁感應定律求解感應電動勢，然后根據牛頓第二定律求解拉力的大小，進一步根據運動狀態(tài)列方程求解．