Question

13．如圖所示，半徑為r的金屬環(huán)繞通過其直徑的軸OO′，以角速度ω做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，金屬環(huán)的電阻值為R，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，從金屬環(huán)的平面與磁場(chǎng)方向重合時(shí)開始計(jì)時(shí)，
（1）寫出環(huán)中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的表達(dá)式；
（2）在轉(zhuǎn)過30°角的過程中，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的平均值是多大？流過金屬環(huán)的電量是多少？
（3）在轉(zhuǎn)過180°角的過程中，環(huán)產(chǎn)生和熱量是多少？流過金屬環(huán)的電量是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大值E_m=NBSω，從而求解感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的有效值；
（2）由法拉第電磁感應(yīng)定律求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的平均值，再由電量表達(dá)式，即可求解．
（3）根據(jù)焦耳定律，求解環(huán)產(chǎn)生的熱量．

解答 解：（1）感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大值E_m=NBSω=Bωπr²，由圖可知，從垂直中性面開始計(jì)時(shí)，
故表達(dá)式為：e=Bωπr²cosωt
因此感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的有效值為E=$\frac{\sqrt{2}}{2}$Bωπr²，
（2）圖示位置時(shí)穿過線圈的磁通量為：Φ₁=0；
轉(zhuǎn)過30°時(shí)穿過線圈的磁通量為：Φ₂=BSsin30°=$\frac{1}{2}$BS=$\frac{1}{2}$Bπr²，
轉(zhuǎn)過30°用的時(shí)間為：△t=$\frac{△θ}{△ω}$=$\frac{π}{6ω}$，
由法拉第電磁感應(yīng)定律得感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的平均值為：E=$\frac{△∅}{△t}$=$\frac{\frac{1}{2}Bπ{r}^{2}}{\frac{π}{6ω}}$=3Bωr²；
金屬環(huán)電阻R=2πrR₀，
感應(yīng)電流：I=$\frac{E}{R}$，
電荷量：q=I△t，
解得：q=$\frac{Br}{4{R}_{0}}$；
（3）金屬環(huán)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，產(chǎn)生正弦式交變電流，
E_m=BSω=Bπr²ω，
有效值：E_有效=$\frac{\sqrt{2}}{2}$Bωπr²，
轉(zhuǎn)過180°需要的時(shí)間：t=$\frac{θ}{ω}$=$\frac{π}{2ω}$，
在轉(zhuǎn)過180°角的過程中，環(huán)產(chǎn)生的熱量：Q=$\frac{{E}^{2}}{R}$t，
解得：Q=$\frac{{π}^{2}{B}^{2}{r}^{3}ω}{6{R}_{0}}$；
答：（1）瞬時(shí)表達(dá)式為：e=Bωπr²cosωt
（2）在轉(zhuǎn)過30°角的過程中，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的平均值是3Bωr²；流過金屬環(huán)的電量是$\frac{Br}{4{R}_{0}}$；
（3）在轉(zhuǎn)過180°角的過程中，環(huán)產(chǎn)生的熱量是$\frac{{π}^{2}{B}^{2}{r}^{3}ω}{6{R}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了交流電瞬時(shí)值表達(dá)式、電動(dòng)勢(shì)的平均值和電流做功情況，應(yīng)用法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律、電流定義式、正弦式交變電流最大值與有效值間的關(guān)系、電功公式即可正確解題．