Question

4．如圖所示，可視為質(zhì)點質(zhì)量為m的小球，用長為L的細(xì)線懸掛于O點，在光滑的水平面上有一個質(zhì)量為M的物體，其右側(cè)是一個半徑為R的光滑四分之一的圓弧，左端是一段長為$\frac{R}{2}$的粗糙水平面，在其左端A處放有一個質(zhì)量也為M的彈性物塊，物塊與物體間有摩擦．現(xiàn)將小球拉起到與懸點O等高處由靜止釋放，與物塊發(fā)生彈性碰撞后回擺到θ=60°角處才減停，同時物塊恰能滑到物體右端最高點C處，試求小球與物塊的質(zhì)量之比和物體與物塊間的動摩擦因數(shù)．

Answer 1

分析 小球向下擺動的過程中機(jī)械能守恒，由此求出小球與物塊碰撞前的速度；同理求出小球在碰撞后的速度；小球與物塊碰撞的過程中水平方向的動量守恒，機(jī)械能守恒，由此求出小球與物塊之間的質(zhì)量關(guān)系；物塊在物體上運(yùn)動的過程中水平方向的動量守恒，由此求出物塊達(dá)到C點時的速度，然后結(jié)合功能關(guān)系即可求出物體與物塊間的動摩擦因數(shù)．

解答 解：小球向下擺動的過程中機(jī)械能守恒，得：
$mgl=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
所以：${v}_{0}=\sqrt{2gl}$
小球倍反彈后向上擺動的過程中機(jī)械能也守恒，得：
$mg\frac{1}{2}l=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
得：${v}_{1}=\sqrt{gl}$
小球與物塊碰撞的過程中水平方向的動量守恒，選取向右為正方向，由動量守恒定律得：
mv₀=-mv₁+Mv₂    ①
又由機(jī)械能守恒得：
$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}M{v}_{2}^{2}$  ②
聯(lián)立①②得：${v}_{1}=\frac{M-m}{M+m}{v}_{0}$，${v}_{2}=\frac{2m{v}_{0}}{M+m}$
聯(lián)立各式得：M=（3+$2\sqrt{2}$）m；
所以小球與物塊的質(zhì)量之比是1：（3+$2\sqrt{2}$）；
物塊在物體上運(yùn)動的過程中水平方向的動量守恒，設(shè)物塊達(dá)到C點時的速度為v₃，則根據(jù)動量守恒定律得：
Mv₂=（M+M）v₃
根據(jù)功能關(guān)系可得：
$\frac{1}{2}M{v}_{2}^{2}=\frac{1}{2}•2M{v}_{3}^{2}+2MgR+μMg•\frac{R}{2}$
聯(lián)立得：$μ=\frac{l}{R}（\frac{M-m}{M+m}）^{2}-4$
答：小球與物塊的質(zhì)量之比是1：（3+$2\sqrt{2}$）；物體與物塊間的動摩擦因數(shù)是$\frac{l}{R}{（\frac{M-m}{M+m}）}^{2}-4$．

點評 該題屬于多物體、多過程的動量守恒與功能關(guān)系的題目，涉及的過程多，物理量多而且物理量之間的關(guān)系復(fù)雜，在解答的過程中一定要準(zhǔn)確把握每一個過程，使應(yīng)用的公式一定與過程相對應(yīng)．