Question

3．宇宙中存在一些質(zhì)量相等的且離其他恒星較遠(yuǎn)的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對(duì)它們的引力作用．設(shè)四星系統(tǒng)中每個(gè)星體質(zhì)量均為m，半徑均為R，四顆星穩(wěn)定分布在邊長(zhǎng)為a的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上．已知引力常數(shù)為G，關(guān)于四星系統(tǒng)，下列說(shuō)法正確的是（　�。�

• A． 四顆星圍繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)
• B． 四顆里的軌道半徑均為$\frac{a}{2}$
• C． 四顆星的線速度大小均為$\sqrt{\frac{（4+\sqrt{2}）Gm}{2a}}$
• D． 四顆星的周期均為2πa$\sqrt{\frac{2a}{（4+\sqrt{2}）Gm}}$

Answer 1

分析 在四顆星組成的四星系統(tǒng)中，其中任意一顆星受到其它三顆星對(duì)它的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，根據(jù)合力提供向心力，求出星體勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期和線速度．

解答 解：A、星體在其他三個(gè)星體的萬(wàn)有引力作用下，合力方向指向?qū)�角線的交點(diǎn)，圍繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，故A正確．
B、四顆星的軌道半徑為r=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$．故B錯(cuò)誤．
C、根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力$G\frac{{m}^{2}}{（\sqrt{2}a）^{2}}+\frac{2G{m}^{2}}{{a}^{2}}cos45°=m\frac{{v}^{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}a}$=$m\frac{\sqrt{2}a}{2}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
解得：v=$\sqrt{\frac{（4+\sqrt{2}）Gm}{4a}}$，T=2πa$\sqrt{\frac{2a}{（4+\sqrt{2}）Gm}}$．故C錯(cuò)誤，D正確．
故選：AD

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力等于重力，以及知道在四顆星組成的四星系統(tǒng)中，其中任意一顆星受到其它三顆星對(duì)它的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．