Question

2．如圖1，用一根長(zhǎng)為L(zhǎng)=1m的細(xì)線，一端系一質(zhì)量為m=1kg的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），另一端固定在一光滑錐體頂端，錐面與豎直方向的夾角θ=37°，當(dāng)小球在水平面內(nèi)繞錐體的軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為ω時(shí)，細(xì)線的張力為T．求（g=10m/s²，sin37°=$\frac{3}{5}$，cos37°=$\frac{4}{5}$，計(jì)算結(jié)果可用根式表示）：

（1）若要小球離開(kāi)錐面，則小球的角速度ω₀至少為多大？
（2）若細(xì)線與豎直方向的夾角為60°，則小球的角速度ω′為多大？
（3）細(xì)線的張力T與小球勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的加速度ω有關(guān)，當(dāng)ω的取值范圍在0到ω′之間時(shí)，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算求解T與ω²的關(guān)系，并在圖2坐標(biāo)紙上作出T-ω²的圖象，標(biāo)明關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)值．

Answer 1

分析 （1）小球剛要離開(kāi)錐面時(shí)的速度，此時(shí)支持力為零，根據(jù)牛頓第二定律求出該臨界角速度ω₀．
（2）若細(xì)線與豎直方向的夾角為60°時(shí)，小球離開(kāi)錐面，由重力和細(xì)線拉力的合力提供向心力，運(yùn)用牛頓第二定律求解．
（3）根據(jù)小球的角速度較小，小球貼著錐面運(yùn)動(dòng)和離開(kāi)錐面運(yùn)動(dòng)兩個(gè)過(guò)程，分析并作出圖象．

解答 解：（1）小球剛要離開(kāi)錐面時(shí)的速度，此時(shí)支持力為零，根據(jù)牛頓第二定律得：
mgtanθ=mω${{ω}_{0}}^{2}$Lsin θ
解得：ω₀=$\sqrt{\frac{g}{Lcosθ}}=\sqrt{12.5}$rad/s．
（2）同理，當(dāng)細(xì)線與豎直方向成60°角時(shí)，由牛頓第二定律及向心力公式有：
mgtan α=mω′²Lsin α
解得：ω′=$\sqrt{\frac{g}{Lcosα}}=2\sqrt{5}$rad/s．
（3）a．當(dāng)ω₁=0時(shí) T₁=mgcosθ=8N，標(biāo)出第一個(gè)特殊點(diǎn)坐標(biāo)（ 0，8N）；
b．當(dāng)0＜ω＜$\sqrt{12.5}$rad/s時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律得：
Tsinθ-Ncosθ=mω²Lsinθ，
Tcosθ+Nsinθ=mg
解得$T=mgcosθ+mL{ω}^{2}（sinθ）^{2}=8+\frac{9}{25}{ω}^{2}$
當(dāng)${ω}_{2}=\sqrt{12.5}rad/s$時(shí)，T₂=12.5N 標(biāo)出第二個(gè)特殊點(diǎn)坐標(biāo)[12.5（rad/s）²，12.5N]；
c．當(dāng)$\sqrt{12.5}rad/s≤ω≤2\sqrt{5}rad/s$時(shí)，小球離開(kāi)錐面，設(shè)細(xì)線與豎直方向夾角為β，
${T}_{3}sinβ=m{ω}^{2}Lsinβ$
解得：${T}_{3}=mL{ω}^{2}$
當(dāng)$ω=ω′=2\sqrt{5}rad/s$時(shí)，T₃=20N
標(biāo)出第三個(gè)特殊點(diǎn)坐標(biāo)[20（rad/s）²，20N]．
畫(huà)出T-ω²圖象如圖所示．

答：
（1）若要小球離開(kāi)錐面，則小球的角速度ω₀至少為$\sqrt{12.5}$rad/s．
（2）若細(xì)線與豎直方向的夾角為60°，則小球的角速度ω′為2$\sqrt{5}$rad/s．
（3）T-ω²的圖象如上所示．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于判斷小球是否離開(kāi)圓錐體表面，不能直接應(yīng)用向心力公式求解，并要運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)作出圖象，難度較大．