Question

2．如圖1，用一根長為L=1m的細線，一端系一質量為m=1kg的小球（可視為質點），另一端固定在一光滑錐體頂端，錐面與豎直方向的夾角θ=37°，當小球在水平面內繞錐體的軸做勻速圓周運動的角速度為ω時，細線的張力為T．求（g=10m/s²，sin37°=$\frac{3}{5}$，cos37°=$\frac{4}{5}$，計算結果可用根式表示）：

（1）若要小球離開錐面，則小球的角速度ω₀至少為多大？
（2）若細線與豎直方向的夾角為60°，則小球的角速度ω′為多大？
（3）細線的張力T與小球勻速轉動的加速度ω有關，當ω的取值范圍在0到ω′之間時，請通過計算求解T與ω²的關系，并在圖2坐標紙上作出T-ω²的圖象，標明關鍵點的坐標值．

Answer 1

分析 （1）小球剛要離開錐面時的速度，此時支持力為零，根據(jù)牛頓第二定律求出該臨界角速度ω₀．
（2）若細線與豎直方向的夾角為60°時，小球離開錐面，由重力和細線拉力的合力提供向心力，運用牛頓第二定律求解．
（3）根據(jù)小球的角速度較小，小球貼著錐面運動和離開錐面運動兩個過程，分析并作出圖象．

解答 解：（1）小球剛要離開錐面時的速度，此時支持力為零，根據(jù)牛頓第二定律得：
mgtanθ=mω${{ω}_{0}}^{2}$Lsin θ
解得：ω₀=$\sqrt{\frac{g}{Lcosθ}}=\sqrt{12.5}$rad/s．
（2）同理，當細線與豎直方向成60°角時，由牛頓第二定律及向心力公式有：
mgtan α=mω′²Lsin α
解得：ω′=$\sqrt{\frac{g}{Lcosα}}=2\sqrt{5}$rad/s．
（3）a．當ω₁=0時 T₁=mgcosθ=8N，標出第一個特殊點坐標（ 0，8N）；
b．當0＜ω＜$\sqrt{12.5}$rad/s時，根據(jù)牛頓第二定律得：
Tsinθ-Ncosθ=mω²Lsinθ，
Tcosθ+Nsinθ=mg
解得$T=mgcosθ+mL{ω}^{2}（sinθ）^{2}=8+\frac{9}{25}{ω}^{2}$
當${ω}_{2}=\sqrt{12.5}rad/s$時，T₂=12.5N 標出第二個特殊點坐標[12.5（rad/s）²，12.5N]；
c．當$\sqrt{12.5}rad/s≤ω≤2\sqrt{5}rad/s$時，小球離開錐面，設細線與豎直方向夾角為β，
${T}_{3}sinβ=m{ω}^{2}Lsinβ$
解得：${T}_{3}=mL{ω}^{2}$
當$ω=ω′=2\sqrt{5}rad/s$時，T₃=20N
標出第三個特殊點坐標[20（rad/s）²，20N]．
畫出T-ω²圖象如圖所示．

答：
（1）若要小球離開錐面，則小球的角速度ω₀至少為$\sqrt{12.5}$rad/s．
（2）若細線與豎直方向的夾角為60°，則小球的角速度ω′為2$\sqrt{5}$rad/s．
（3）T-ω²的圖象如上所示．

點評 本題的關鍵點在于判斷小球是否離開圓錐體表面，不能直接應用向心力公式求解，并要運用數(shù)學知識作出圖象，難度較大．