Question

10．如圖所示，質(zhì)量為m=5kg的擺球從圖中A位置由靜止開始擺下，當小球擺至豎直位置到達B點時繩子遇到B點上方電熱絲而被燒斷．已知擺線長為L=1.6m，OA與OB的夾角為60°，懸點O與地面間的距離h=4.8m，若不計空氣阻力及一切能量損耗，g=10m/s²，求：
（1）小球從A到B下落的高度差△h多大？小球擺到B點時的速度v的大�。�
（2）小球落地點D到C點之間的距離x；
（3）若選用不同長度的繩子進行實驗，仍然保證OA與OB的夾角為θ=60°，且繩子在處于豎直方向時被燒斷，為了使小球的落點D與C之間的距離最遠，請通過計算求繩子的長度和CD間最遠距離x_m．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)幾何關(guān)系求小球從A到B下落的高度差△h．小球下擺過程中，只有重力做功，根據(jù)動能定理可求出到B點時小球的速度．
（2）到B點后，小球做平拋運動，由豎直高度求出平拋的時間，再求水平距離．
（3）根據(jù)動能定理和平拋運動知識列出小球的落點D與C之間的距離x與繩長l的函數(shù)關(guān)系式，由數(shù)學知識求解最大值．

解答 解：（1）小球從A到B下落的高度差△h=L（1-cosθ）=1.6×（1-cos60°）m=0.8m
設小球擺到B點的速度為v，由動能定理得  
           mg△h=$\frac{1}{2}$mv²；
得到  v=4m/s
（2）小球從B點飛出后，做平拋運動，平拋的時間為t，則有
豎直方向有：h-L=$\frac{1}{2}$gt²；
水平方向上小球做勻速直線運動，則有 x=vt
故CD間的距離為    x=vt=4×0.8=3.2m
（3）設繩子長度為l，則由前兩問可得CD間的距離
     x=vt=$\sqrt{2gl（1-cosθ）}$•$\sqrt{\frac{2（h-l）}{g}}$=$\sqrt{2l（h-l）}$
由數(shù)學均值定理可得，當l=h-l，即l=2.4m時，x有最大值
代入即可得 x_m=3.4m．  
答：
（1）小球從A到B下落的高度差△h為0.8m，小球擺到B點時的速度大小0 4m/s；
（2）小球落地點D到C點之間的距離x為3.2m；
（3）繩長為2.4m時，CD間距離最遠，CD間最遠距離x_m為3.4m．

點評 本題第（3）問中通過列出函數(shù)與自變量的函數(shù)關(guān)系式，通過數(shù)學知識求極值，是物理上求極值常用的方法之一．