Question

4．如圖所示，質(zhì)量m=0.2kg的足夠長(zhǎng)“U”形金屬導(dǎo)軌abcd放置在傾角θ=37°的光滑絕緣斜面上，導(dǎo)軌bc段長(zhǎng)L=1m，電阻R=0.5Ω，其余電阻不計(jì)．另一質(zhì)量和電阻與導(dǎo)軌均相同的導(dǎo)體棒PQ垂直放置在導(dǎo)軌上，且與導(dǎo)軌接觸良好，棒與導(dǎo)軌間動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，其左下側(cè)有兩個(gè)固定于斜面的光滑絕緣立柱．以ef為界，下側(cè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向沿斜面向上，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=1T，上側(cè)磁場(chǎng)B′方向垂直斜面向上．初始bcfe構(gòu)成與正方形，用輕質(zhì)細(xì)線跨過(guò)理想定滑輪將bc段中點(diǎn)與與質(zhì)量為M的重物相連，細(xì)線伸直時(shí)與導(dǎo)軌bc段垂直．現(xiàn)將重物由靜止釋放．（最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，sin37°=0.6，g取10m/s²）
（1）若重物以a=2m/s²的加速度向下運(yùn)動(dòng)，從重物開(kāi)始運(yùn)動(dòng)計(jì)時(shí)，此時(shí)B′=B₀，為使導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)過(guò)程中PQ始終無(wú)感應(yīng)電流產(chǎn)生，求B′隨時(shí)間t變化的規(guī)律；
（2）若M=0.1kg，且B′變化規(guī)律為B₁=kt（k=2T/s），求經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間金屬導(dǎo)軌開(kāi)始滑動(dòng)；
（3）若M=0.3kg，且B′=B=1T，在導(dǎo)軌開(kāi)始運(yùn)動(dòng)至獲得最大速度的過(guò)程中，棒PQ產(chǎn)生的焦耳熱Q=0.15J，通過(guò)棒點(diǎn)的電荷量q=1.5C，求此過(guò)程中因摩擦增加的內(nèi)能△E．

Answer 1

分析 （1）為使金屬棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流，回路中磁通量應(yīng)不變，據(jù)此列式求解；
（2）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，求出電路中的電動(dòng)勢(shì)，由閉合電路的歐姆定律求出電路中的電流值，由F=BIL求出安培力，然后結(jié)合共點(diǎn)力平衡，即可求出金屬導(dǎo)軌剛剛要發(fā)生運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（3）由共點(diǎn)力平衡的條件先求出導(dǎo)軌的最大速度，然后結(jié)合功能關(guān)系以及電流的表達(dá)式即可求出．

解答 解：（1）當(dāng)回路中的總磁通量不變時(shí)，棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流，沿導(dǎo)軌做勻加速運(yùn)動(dòng)．設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t，通過(guò)的距離為x，則：
$x=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
又：${B}_{0}{L}^{2}={B}_{t}（{L}^{2}+Lx）$
聯(lián)立得：${B}_{t}=\frac{{B}_{0}}{1+{t}^{2}}$
（2）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，電路中的電動(dòng)勢(shì)：E=$\frac{△{B}_{t}}{△t}•{L}^{2}=k{L}^{2}$
感應(yīng)電流：I=$\frac{E}{2R}$
經(jīng)過(guò)時(shí)間t，磁感應(yīng)強(qiáng)度：B_t=kt
金屬導(dǎo)軌受到的安培力：F=B_tIL=kILt
摩擦力：f=μ（IBL+mgcosθ）
當(dāng)mgsinθ+ILB₁=f+Mg時(shí)，金屬導(dǎo)軌剛剛要發(fā)生移動(dòng)，
聯(lián)立解得：t=0.4s
（3）導(dǎo)軌的速度最大時(shí)，有：mgsinθ+ILB₁+f=Mg
又：I=$\frac{BL{v}_{m}}{2R}$
聯(lián)立得：${v}_{m}=\frac{2}{3}$m/s
導(dǎo)軌從剛開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到速度最大的過(guò)程中，由能量守恒定律得：$Mgx′-mgsinθ•x′=\frac{1}{2}（M+m）{v}_{m}^{2}+2Q+△E$
而q=$\overline{I}t$
其中：$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{2R}$；
平均電動(dòng)勢(shì)：$\overline{E}=\frac{△Φ}{t}$
聯(lián)立得：△E≈2.3J
答：（1）若重物以a=2m/s²的加速度向下運(yùn)動(dòng)，從重物開(kāi)始運(yùn)動(dòng)計(jì)時(shí)，此時(shí)B′=B₀，為使導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)過(guò)程中PQ始終無(wú)感應(yīng)電流產(chǎn)生，B′隨時(shí)間t變化的規(guī)律為${B}_{t}=\frac{{B}_{0}}{1+{t}^{2}}$；
（2）若M=0.1kg，且B′變化規(guī)律為B₁=kt（k=2T/s），經(jīng)過(guò)0.4s金屬導(dǎo)軌開(kāi)始滑動(dòng)；
（3）此過(guò)程中因摩擦增加的內(nèi)能△E為2.3J．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)金屬棒正確受力分析、分析清楚金屬棒的運(yùn)動(dòng)過(guò)程、應(yīng)用安培力公式、平衡條件等，即可正確解題．要明確產(chǎn)生感應(yīng)電流的條件：閉合電路的磁通量變化．