Question

1．地面上有一個半徑為R的圓形跑道，高為h的平臺邊緣上的P點(diǎn)在地面上P′點(diǎn)的正上方，P′與跑道圓心O的距離為L（L＞R），如圖所示．跑道上停有一輛小車，現(xiàn)從P點(diǎn)水平拋出小沙袋，使其落入小車中（沙袋所受空氣阻力不計(jì)）．若重力加速度為g，問：

（1）當(dāng)小車分別位于A點(diǎn)和B點(diǎn)時（∠AOB=90°），沙袋被拋出時的初速度各為多大？
（2）若小車沿跑道順時針運(yùn)動，當(dāng)小車恰好經(jīng)過A點(diǎn)時，將沙袋拋出，為使沙袋能在B處落入小車中，小車的速率v應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）小車分別位于A點(diǎn)和B點(diǎn)時，沙袋從P點(diǎn)開始做的都是平拋運(yùn)動，根據(jù)在豎直方向上的自由落體運(yùn)動，可以求得運(yùn)動的時間，根據(jù)水平方向上的勻速直線運(yùn)動可以求得沙袋的初速度的大小；
（2）要使沙袋能在B處落入小車中，在沙袋落到B點(diǎn)時，小車要剛好到達(dá)B位置，小車可以是經(jīng)過$\frac{1}{4}$圓周到達(dá)B點(diǎn)，也可以是經(jīng)過整數(shù)個圓周之后再過$\frac{1}{4}$圓周到達(dá)B點(diǎn)，根據(jù)它們的時間相同可以求得小車速度的關(guān)系．

解答 解：（1）沙袋從P點(diǎn)平拋，則
  h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$       
得 t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$                    
當(dāng)小車位于A點(diǎn)時，有 x_A=v_At=L-R
當(dāng)小車位于B點(diǎn)時，有x_B=v_Bt=$\sqrt{{L}^{2}+{R}^{2}}$
解以上三式得  v_A=（L-R）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$，x_B=$\sqrt{\frac{g（{L}^{2}+{R}^{2}）}{2h}}$     
（2）要使沙袋能在B處落入小車中，小車運(yùn)動的時間應(yīng)與沙袋下落時間相同
t_AB=（n+$\frac{1}{4}$）$\frac{2πR}{v}$（n=0，1，2，3…）（6）
且 t_AB=t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$
解得v=$\frac{1}{2}$（4n+1）πR$\sqrt{\frac{g}{2h}}$（n=0，1，2，3…）．
答：
（1）當(dāng)小車分別位于A點(diǎn)和B點(diǎn)時（∠AOB=90°），沙袋被拋出時的初速度各為（L-R）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$和$\sqrt{\frac{g（{L}^{2}+{R}^{2}）}{2h}}$．
（2）為使沙袋能在B處落入小車中，小車的速率v應(yīng)滿足的條件是v=$\frac{1}{2}$（4n+1）πR$\sqrt{\frac{g}{2h}}$（n=0，1，2，3…）．

點(diǎn)評 本題是對平拋運(yùn)動規(guī)律的考查，在分析第二問時，要考慮到小車運(yùn)動的周期性，小車并一定是經(jīng)過$\frac{1}{4}$圓周，也可以是經(jīng)過了多個圓周之后再經(jīng)過$\frac{1}{4}$圓周后恰好到達(dá)B點(diǎn)，這是同學(xué)在解題時經(jīng)常忽略而出錯的地方．