Question

15．如圖所示，內(nèi)徑2L質(zhì)量為m的內(nèi)壁光滑的木槽C靜置于水平桌面上，木槽C與水平桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，槽內(nèi)兩小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）A、B質(zhì)量分別m、2m．現(xiàn)在槽中央用兩球?qū)⒑芏蹋ㄩL(zhǎng)度可不計(jì)）的輕彈簧壓緊（不拴接），彈簧的彈性勢(shì)能為E_P=μmgL，同時(shí)無(wú)初速釋放A、B兩小球，待彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)立即取走彈簧，如果兩小球之間及與槽兩端豎直壁發(fā)生碰撞均為彈性碰撞，碰撞時(shí)間不計(jì)，重力加速度為g．求：
（1）B球與槽右端豎直壁發(fā)生第2次碰撞后瞬間，A、B、C三者各自速度大小；
（2）整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，A與槽左端豎直壁發(fā)生碰撞的次數(shù)；
（3）整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，A、B、C三者各自相對(duì)地面的位移．

Answer 1

分析 （1）碰撞過(guò)程系統(tǒng)動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒，碰撞后物體做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用動(dòng)量守恒定律與機(jī)械能守恒定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出A、B、C的速度．
（2）應(yīng)用能量守恒定律求出C向右運(yùn)動(dòng)的位移，然后求出碰撞次數(shù)．
（3）根據(jù)物體的運(yùn)動(dòng)情況，求出物體的位移．

解答 解：（1）設(shè)彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)A、B兩小球速度大小分別為v_A、v_B，系統(tǒng)動(dòng)量時(shí)候，以A的初速度方向?yàn)檎�方向，由�?dòng)量守恒定律得：
mv_A=2mv_B，
由機(jī)械能守恒定律得：E_P=$\frac{1}{2}$mv_A²+$\frac{1}{2}$•2mv_B²，
解得：v_A=2$\sqrt{\frac{μgL}{3}}$，
v_B=$\sqrt{\frac{μgL}{3}}$，
小球A向左運(yùn)動(dòng)歷時(shí)t₁到達(dá)槽左端豎直壁處，則：L=v_At₁，
解得：t₁=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{3L}{μg}}$，
設(shè)小球A與槽左端豎直壁發(fā)生彈性碰撞后，小球A與木槽C速度大小分別為v_A1、v_C，
由于小球A與木槽C質(zhì)量相等，速度交換，有：v_A1=0，
木槽C以速度：v_C=2$\sqrt{\frac{μgL}{3}}$，向左勻減速運(yùn)動(dòng)，
木槽C加速度大小為a，由牛頓第二定律得：4μmg=ma，
解得：a=4μg，
木槽C歷時(shí)t₂，速度減為零，v_C=at₂，
解得：t₂=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{L}{3μg}}$，
向左位移大�。簒_C1，有：x_C1=$\frac{{v}_{C}^{2}}{2a}$=$\frac{L}{6}$，
小球B在時(shí)間t₁+t₂內(nèi)向右運(yùn)動(dòng)位移大�。簒_B=v_B（t₁+t₂）=$\frac{2L}{3}$，
得木槽C速度減為零時(shí)，小球B與槽右端豎直壁距離$\frac{L}{6}$，
設(shè)小球B與槽右端豎直壁發(fā)生彈性碰撞后，小球B與木槽C速度大小分別為v_B1、v_C1，
系統(tǒng)動(dòng)量守恒，以向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：2mv_B1+mv_C1=2mv_B，
由機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$•2mv_B1²+$\frac{1}{2}$mv_C1²=$\frac{1}{2}$•2mv_B²，
解得：v_B1=$\frac{{v}_{B}}{3}$=$\frac{\sqrt{3μgL}}{9}$，v_C1=$\frac{4{v}_{B}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3μgL}}{9}$，
隨后C水平向右以初速v_C1作加速度為a勻減速直線運(yùn)動(dòng)，B以v_B1水平向右作勻速直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)分析可知：C先減速至停止，然后B再以速度v_B1與C發(fā)生第二次碰撞，
設(shè)B與C發(fā)生第二次碰撞后瞬時(shí)，小球B與木槽C速度大小分別為v_B2、v_C2，以向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：
2mv_B2+mv_C2=2mv_B1，
由機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$•2mv_B2²+$\frac{1}{2}$mv_C2²=$\frac{1}{2}$•2mv_B1²，
解得：v_B2=$\frac{\sqrt{3μgL}}{27}$，v_C2=$\frac{4\sqrt{3μgL}}{27}$，A的速度為0；
（2）由分析知：B與C將一直碰撞下去，直至最終B、C均停止，設(shè)C向右運(yùn)動(dòng)路程為x，C與水平桌面摩擦生熱，由能量守恒定律得：
μ•4mg（$\frac{L}{6}$+x）=E_P=μmgL，
解得：x=$\frac{L}{12}$，
說(shuō)明此后C、A不再碰撞，所以整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，A球與槽左端豎直壁只發(fā)生1次碰撞；
（3）整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，A位移大�。簊_A=L，方向水平向左，
B位移大小：s_B=$\frac{11L}{12}$，方向水平向右，
C位移大�。簊_C=$\frac{L}{12}$，方向水平向左；
答：（1）B球與槽右端豎直壁發(fā)生第2次碰撞后瞬間，A、B、C三者各自速度大小分別為：0、$\frac{\sqrt{3μgL}}{27}$、$\frac{4\sqrt{3μgL}}{27}$；
（2）整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，A與槽左端豎直壁發(fā)生碰撞的次數(shù)是1次；
（3）整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，A、B、C三者各自相對(duì)地面的位移分別是：L、方向水平向左，$\frac{11L}{12}$、方向水平向右，$\frac{L}{12}$、方向水平向左．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道力學(xué)綜合題，難度較大，本題的難點(diǎn)在：分析清楚各物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程后，應(yīng)用動(dòng)量守恒定律、能量守恒定律、動(dòng)能定律即可正確解題．