Question

19．如圖所示，在直角坐標(biāo)系的xoy第一象限中存在豎直向下的勻強(qiáng)電場，電場大小為4E₀，虛線是電場的理想邊界線，虛線右端與x軸相交于A（L，0）點(diǎn)，虛線與x軸所圍成的空間內(nèi)沒有電場；在第二象限中存在水平向右的勻強(qiáng)電場．電場強(qiáng)度大小為E₀．M（-L，L）和N（-L，0）兩點(diǎn)的連線上有一個粒子的發(fā)生器裝置，可產(chǎn)生質(zhì)量均為m，電量均為q的靜止的帶正電的粒子，不計(jì)粒子的重力和粒子之間的相互作用，且整個裝置處于真空中．

（1）若粒子從M點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動，進(jìn)入第一象限后始終在電場中運(yùn)動并恰好到達(dá)A點(diǎn)，求該過程中粒子運(yùn)動時間t及到達(dá)A點(diǎn)的速度的大��；
（2）若從MN連線上的各點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動的所有粒子，經(jīng)第一象限的電場偏轉(zhuǎn)穿過虛線后都能到達(dá)A點(diǎn)，求此邊界線（圖中虛線）的方程；
（3）若將第一象限的電場撇去，在第一、四象限中加上垂直平面xoy圓形區(qū)域的勻強(qiáng)磁場，OA為圓形區(qū)域的直徑，從MN連線上的各點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動的一些粒子，經(jīng)第一象限的磁場偏轉(zhuǎn)后都能從圓形區(qū)域的最低點(diǎn)射出磁場，求此勻強(qiáng)磁場的方向和大�。�

Answer 1

分析 （1）由牛頓第二定律求得加速度，然后由運(yùn)動學(xué)的公式即可求得運(yùn)動的時間與到達(dá)A的速度；
（2）結(jié)合（1）的公式，按照題目的條件寫出相應(yīng)的方程，即可求解；
（3）根據(jù)帶電粒子在電場中加速，可知，粒子的電性，再根據(jù)左手定則，結(jié)合粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)方向，即可判定磁場的方向，由幾何關(guān)系，知道已知長度與運(yùn)動的軌道半徑的關(guān)系，從而求解磁場的大�。�

解答 解：（1）粒子在第二象限的電場中勻加速的加速度：a=$\frac{q{E}_{0}}{m}$
時間：L=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}$•$\frac{{E}_{0}q}{m}$${t}_{1}^{2}$L；
在第一象限運(yùn)動時間：L=$\frac{1}{2}$$\frac{4{E}_{0}q}{m}$•${t}_{2}^{2}$
這個過程中該粒子所用的時間：t=t₁+t₂=$\frac{3}{2}\sqrt{\frac{2Lm}{{qE}_{0}}}$
由動能定理：E₀qL=$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$
4E₀qL=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$ 
  解得：v=$\sqrt{\frac{10L{E}_{0}q}{m}}$；
（2）設(shè)粒子從P點(diǎn)坐標(biāo)為（-L、y₀）由靜止勻加速直線運(yùn)動，粒子進(jìn)入第一象限做類平拋運(yùn)動，經(jīng)Q點(diǎn)后做勻速直線運(yùn)動，
設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x、y）；
粒子進(jìn)入第一象限的速度：E₀qL=$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$
做類平拋運(yùn)動經(jīng)Q點(diǎn)時，水平：x=v₀t    
豎直：y₀-y=$\frac{1}{2}$•$\frac{4{E}_{0}q}{m}$t²；   
代入得：y₀-y=$\frac{1}{2}$•$\frac{4{E}_{0}q}{m}$（$\frac{x}{{v}_{0}}$）²=$\frac{{x}^{2}}{L}$
把上面兩式相除得：$\frac{{y}_{0}-y}{x}$=$\frac{\frac{4{E}_{0}q}{m}t}{2{v}_{0}}$=$\frac{{v}_{y}}{2{v}_{0}}$
QA與x軸成θ角可得：tanθ=$\frac{y}{L-x}$；
由速度分解：tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{2（{y}_{0}-y）}{x}$；
整理得邊界方程：y=$\frac{2}{L}$（Lx-x²），且有（0≤x≤L；0≤y≤$\frac{L}{2}$）；
（3）帶電粒子在電場力作用下，加速運(yùn)動，根據(jù)第二象限的電場方向，可知，粒子帶正電，
由于粒子經(jīng)過磁場后，從最低點(diǎn)射出，則洛倫茲力偏向下，
根據(jù)左手定則可知，磁場的方向垂直向外；
當(dāng)從N點(diǎn)射入磁場的粒子，經(jīng)過磁場偏轉(zhuǎn)后，從磁場最低點(diǎn)射出，
則運(yùn)動軌道對應(yīng)的半徑為R=$\frac{L}{2}$；

根據(jù)牛頓第二定律，則有：$Bq{v}_{0}=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，
且E₀qL=$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$
解得：B=$\frac{m\sqrt{\frac{2q{E}_{0}L}{m}}}{q×\frac{L}{2}}$=2$\sqrt{\frac{2{E}_{0}m}{qL}}$；
答：（1）這個過程中該粒子運(yùn)動的時間及到達(dá)A點(diǎn)的速度大小是$\sqrt{\frac{10L{E}_{0}q}{m}}$；
（2）若從MN線上M點(diǎn)下方由靜止發(fā)出的所有粒子，在第二象限的電場加速后，經(jīng)第一象限的電場偏轉(zhuǎn)穿過虛線邊界后都能到達(dá)A點(diǎn)，此邊界（圖中虛線）方程是：y=$\frac{2}{L}$（Lx-x²），且有（0≤x≤L；0≤y≤$\frac{L}{2}$）；
（3）此勻強(qiáng)磁場的方向垂直向外和大小2$\sqrt{\frac{2{E}_{0}m}{qL}}$．

點(diǎn)評 以帶電粒子在電場中運(yùn)動為命題情境，考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的能力，注意正確畫出運(yùn)動軌跡，并應(yīng)用數(shù)學(xué)中幾何關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．
第（1）問題：另一解：
粒子在第二象限的電場中勻加速的時間：L=$\frac{1}{2}$•$\frac{q{E}_{0}}{m}$${t}_{1}^{2}$
得時間：t₁=$\sqrt{\frac{2Lm}{q{E}_{0}}}$；  
到y(tǒng)軸的速度：v₁=$\frac{q{E}_{0}}{m}{t}_{1}$=$\sqrt{\frac{2L{E}_{0}q}{m}}$
在第一象限做類平拋運(yùn)動，水平：L=v₁t₂；得：t₂=$\sqrt{\frac{mL}{2{E}_{0}q}}$
豎直：v_y=$\frac{4{E}_{0}q}{m}$t₂=2$\sqrt{\frac{2L{E}_{0}q}{m}}$；      
這個過程中該粒子所用的時間：t=t₁+t₂=$\frac{3}{2}$$\sqrt{\frac{2Lm}{q{E}_{0}}}$
該過程中粒子到達(dá)A點(diǎn)的速度：v=$\sqrt{{v}_{1}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{\frac{10L{E}_{0}q}{m}}$．