Question

4．如圖所示為糧店常用的皮帶傳輸裝置，它由兩臺(tái)皮帶傳輸機(jī)組成，一臺(tái)水平傳送，AB兩端相距L₁=2.5m，另一臺(tái)傾斜傳送，傳送帶與地面傾角θ=37°，CD兩端相距L₂=2.05m，B、C間距可忽略．水平部分AB以v₀=5m/s的速率順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，將質(zhì)量m=10kg的米袋無初速度的放在A端，它隨傳送帶到達(dá)B點(diǎn)后，速度大小不變地傳到傾斜傳送帶的C端，隨后傳到傾斜的CD部分．米袋與傳送帶間動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.5，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）米袋沿傳輸帶運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的速度大小v_B；
（2）米袋傳到傾斜傳送帶的C端時(shí)，傾斜傳送帶保持順時(shí)針勻速運(yùn)轉(zhuǎn)，要使米袋能被送到D端，求傾斜傳送帶速度v的范圍；
（3）若米袋傳到傾斜傳送帶的C端時(shí)，傾斜傳送帶以恒定加速度a₀=5.0m/s²，由靜止開始沿順時(shí)針方向啟動(dòng)，試通過計(jì)算判定米袋能否被送到D端．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求出米袋在AB上的加速度，結(jié)合速度位移公式求出到達(dá)B點(diǎn)的速度，注意要判斷速度是否達(dá)到傳送帶的速度．
（2）根據(jù)米袋速度大于傳送帶和小于傳送帶兩個(gè)階段的加速度，結(jié)合位移公式，抓住位移關(guān)系求出臨界速度，從而得出傾斜傳送帶速度v的范圍．
（3）據(jù)米袋速度大于傳送帶和小于傳送帶兩個(gè)階段的加速度，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出兩個(gè)階段的位移，從而判斷米袋能否被送到D端．

解答 解：（1）米袋在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由牛頓第二定律得：
${a}_{0}=\frac{μmg}{m}=μg=0.5×10m/{s}^{2}=5m/{s}^{2}$，
設(shè)米袋一直加速運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的速度為v_B，則由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得：
${{v}_{B}}^{2}=2{a}_{0}{L}_{1}$，
解得：${v}_{B}=\sqrt{2{a}_{0}{L}_{1}}=\sqrt{2×5×2.5}$m/s=5m/s，即米袋傳到B點(diǎn)時(shí)剛好與傳送帶速度相同．
（2）設(shè)傾斜傳送帶運(yùn)轉(zhuǎn)速度為v時(shí)，米袋恰能達(dá)D點(diǎn)，則：
米袋速度減為v之前：mgsinθ+μmgcosθ=ma₁，${s}_{1}=\frac{{v}^{2}-{{v}_{c}}^{2}}{-2{a}_{1}}$，
米袋速度小于v之后：mgsinθ-μmgcosθ=ma₂，${s}_{2}=\frac{0-{v}^{2}}{-2{a}_{2}}$，
又由s₁+s₂=L₂，代入數(shù)據(jù)聯(lián)立解得：v=2.0m/s．
即要把米袋送到D點(diǎn)，傾斜傳送帶沿順時(shí)針方向運(yùn)轉(zhuǎn)的速度v≥2m/s．
（3）由題設(shè)可知米袋到達(dá)C端時(shí)速度為v_C=5m/s，
設(shè)傾斜傳送帶運(yùn)轉(zhuǎn)速度為v₀時(shí)，米袋與傾斜傳送帶達(dá)到相同速度，則：
米袋速度減為v₀之前：mgsinθ+μmgcosθ=ma₁
代入數(shù)據(jù)解得：${a}_{1}=10m/{s}^{2}$；
由v₀=v_C-a₁t₁=a₀t₁
解得：${t}_{1}=\frac{{v}_{C}}{{a}_{1}+{a}_{0}}=\frac{5}{10+5}s=\frac{1}{3}s$，${v}_{0}=\frac{5}{3}m/s$，
向上滑動(dòng)的位移為：${s}_{1}=\frac{{v}_{c}+{v}_{0}}{2}{t}_{1}$=$\frac{5+\frac{5}{3}}{2}×\frac{1}{3}m=\frac{10}{9}m$，
米袋速度小于v₀之后：mgsinθ-μmgcosθ=ma₂，
代入數(shù)據(jù)解得：${a}_{2}=2m/{s}^{2}$，
  由0-v₀=-a₂t₂得：${t}_{2}=\frac{{a}_{0}}{{a}_{2}}{t}_{1}=\frac{5}{2}×\frac{1}{3}s=\frac{5}{6}s$，
繼續(xù)向上滑動(dòng)的位移為：${s}_{2}=\frac{0+{v}_{0}}{2}{t}_{2}=\frac{0+\frac{5}{3}}{2}×\frac{5}{6}m=\frac{25}{36}m$．
所以：${s}_{1}+{s}_{2}=\frac{65}{36}m＜{L}_{2}=2.05m$，米袋不能被送到D端．
答：（1）米袋沿傳輸帶運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的速度大小為5m/s；
（2）傾斜傳送帶速度v的范圍為v≥2m/s．
（3）米袋不能被送到D端．

點(diǎn)評(píng) 本題是個(gè)多過程問題，關(guān)鍵要理清各個(gè)階段的運(yùn)動(dòng)情況，結(jié)合牛頓運(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行求解．