Question

3．如圖，長為a的輕質(zhì)細線，一端懸掛在O點，另一端接一個質(zhì)量為m的小球（可視為質(zhì)點），組成一個能繞O點在豎直面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動的振子．現(xiàn)有3個這樣的振子，以相等的間隔b（b＞2a）在同一豎直面里成一直線懸于光滑的平臺MN上，懸點距臺面高均為a．今有一質(zhì)量為3m的小球以水平速度v沿臺面射向振子并與振子依次發(fā)生彈性正碰，為使每個振子碰撞后都能在豎直面內(nèi)至少做一個完整的圓周運動，則入射小球的速度v不能小于多少．

Answer 1

分析 分別對3m與另外三個小球的碰撞過程由動量守恒定律及機械能守恒定律列式求得碰后的速度，再對第三個小球分析，聯(lián)立可求得3m的初速度．

解答 解：設(shè)向右為正方向；
3m和m彈性碰撞過程中，由動量守恒定律可知：
3mv=3mv′+mv₁
對碰撞過程由機械能守恒定律可知：
$\frac{1}{2}$•3mv=$\frac{1}{2}$•3mv′²+$\frac{1}{2}$mv₁²
解得：v′=$\frac{3m-m}{3m+m}v$
v₁=$\frac{2×3m}{3m+m}$v=$\frac{3}{2}$v
同理可得：3m與第二個小球碰撞后
v″=$\frac{v}{{2}^{2}}$
v₂=$\frac{3}{{2}^{2}}$v
3m與第三個小球碰后，v′″=$\frac{1}{{2}^{3}}v$；
v₃=$\frac{3}{{2}^{3}}$v
故v₁＞v₂＞v₃；只需第三個小球能做完整的圓周運動，則前兩個球一定做圓周運動，
由機械能守恒定律可得：
$\frac{1}{2}$mv′″2=mg•2a+$\frac{1}{2}$mv₄²
最高點處由向心力公式可得：
mg=m$\frac{{v}_{4}^{2}}{a}$
聯(lián)立解得：v=$\frac{8}{5}$$\sqrt{5ga}$
答：入射小球的速度v不能小于$\frac{8}{5}$$\sqrt{5ga}$

點評 本題考查動量守恒定律及機械能守恒定律的應用，要注意正確分析物理過程，明確各碰撞過程中動量守恒、機械能守恒；根據(jù)物理規(guī)律列式求解即可．