Question

13．如圖所示，摩托車(chē)做騰躍特技表演，沿曲面沖上高0.8m的頂部水平高臺(tái)，接著以v=3m/s的水平速度離開(kāi)平臺(tái)，落至地面時(shí)，恰能無(wú)碰撞地沿圓弧切線從A點(diǎn)切入光滑豎直圓弧軌道，并沿軌道下滑．A、B為圓弧兩端點(diǎn)，其連線水平．已知圓弧半徑為R=1.0m，人和車(chē)的總質(zhì)量為200kg，特技表演的全過(guò)程中，阻力忽略不計(jì)．（計(jì)算中取g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6）．求：

（1）從平臺(tái)飛出到A點(diǎn)，人和車(chē)運(yùn)動(dòng)的水平距離s．
（2）從平臺(tái)飛出到達(dá)A點(diǎn)時(shí)速度．
（3）圓弧對(duì)應(yīng)圓心角θ．
（4）已知人和車(chē)運(yùn)動(dòng)到圓弧軌道最低點(diǎn)O時(shí)，速度v′為$\sqrt{33}$m/s，求此時(shí)人和車(chē)對(duì)軌道的壓力的大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)高度求出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，結(jié)合初速度和時(shí)間求出水平距離．
（2）根據(jù)速度時(shí)間公式求出A點(diǎn)的豎直分速度，結(jié)合平行四邊形定則求出A點(diǎn)的速度．
（3）根據(jù)平行四邊形定則求出落地速度方向與水平方向的夾角，結(jié)合幾何關(guān)系求出圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角．
（4）根據(jù)牛頓第二定律求出軌道對(duì)人和車(chē)的支持力，從而得出人和車(chē)對(duì)軌道的壓力大小．

解答 解：（1）由$H=\frac{1}{2}g{{t}_{2}}^{2}$，s=vt₂可得：${t}_{2}=\sqrt{\frac{2H}{g}}=\sqrt{\frac{2×0.8}{10}}s=0.4s$
s=$v\sqrt{\frac{2H}{g}}=3×\sqrt{\frac{2×0.8}{10}}m=1.2m$．
（2）摩托車(chē)落至A點(diǎn)時(shí)，其豎直方向的分速度v_y=gt₂=10×0.4m/s=4m/s
到達(dá)A點(diǎn)時(shí)速度 ${v}_{A}=\sqrt{{v}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=\sqrt{9+16}m/s=5m/s$．
（3）設(shè)摩托車(chē)落地時(shí)速度方向與水平方向的夾角為α，則
$tanα=\frac{{v}_{y}}{v}=\frac{4}{3}$，即α=53°
所以θ=2α=106°
（4）在0點(diǎn)：$N-mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$    
代入數(shù)據(jù)解得N=8600N
由牛頓第三定律可知，人和車(chē)在最低點(diǎn)O時(shí)對(duì)軌道的壓力為8600N．
答：（1）從平臺(tái)飛出到A點(diǎn)，人和車(chē)運(yùn)動(dòng)的水平距離s為1.2m．
（2）從平臺(tái)飛出到達(dá)A點(diǎn)時(shí)速度為5m/s．
（3）圓弧對(duì)應(yīng)圓心角θ為106°．
（4）此時(shí)人和車(chē)對(duì)軌道的壓力的大小為8600N．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的基本運(yùn)用，知道平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律以及圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源是解決本題的關(guān)鍵．