Question

8．正方體空心框架ABCD-A₁B₁C₁D₁下表面在水平地面上，將可視為質點的小球從頂點A在∠BAD所在范圍內（包括邊界）沿不同的水平方向分別拋出，落點都在△B₁C₁D₁平面內（包括邊界）．不計空氣阻力，以地面為重力勢能參考平面．則下列說法正確的是（　�。�

• A． 小球初速度的最小值與最大值之比是1：$\sqrt{2}$
• B． 落在C₁點的小球，運動時間最長
• C． 落在B₁D₁線段上的小球，落地時機械能的最小值與最大值之比是1：2
• D． 軌跡與AC₁線段相交的小球，在交點處的速度方向都相同

Answer 1

分析 小球做平拋運動，水平分運動為勻速直線運動，豎直分運動為自由落體運動．運動時間由下落的高度決定．由分位移公式求初速度．由機械能守恒定律研究落地時機械能．

解答 解：A、小球落在A₁C₁線段中點時水平位移最小，落在C₁時水平位移最大，由幾何關系知水平位移的最小值與最大值之比是1：2，由x=v₀t，t相等得小球初速度的最小值與最大值之比是1：2，故A錯誤；
B、小球做平拋運動，由h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得 t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$，下落高度相同，平拋運動的時間相等，故B錯誤；
C、落在B₁D₁線段中點的小球，落地時機械能的最小，落在B₁D₁線段上D₁或B₁的小球，落地時機械能的最大．設落在B₁D₁線段中點的小球初速度為v₁，水平位移為x₁．落在B₁D₁線段上D₁或B₁的小球初速度為v₂．水平位移為x₂．由幾何關系有 x₁：x₂=1：$\sqrt{2}$，由x=v₀t，得：v₁：v₂=1：$\sqrt{2}$，落地時機械能等于拋出時的機械能，分別為：E₁=mgh+$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$，E₂=mgh+$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$，可知落地時機械能的最小值與最大值之比不等于1：2．故C錯誤．
D、設AC₁的傾角為α，軌跡與AC₁線段相交的小球，在交點處的速度方向與水平方向的夾角為θ．則有 tanα=$\frac{y}{x}$=$\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}$=$\frac{gt}{2{v}_{0}}$，tanθ=$\frac{gt}{{v}_{0}}$，則 tanθ=2tanα，可知θ一定，則軌跡與AC₁線段相交的小球，在交點處的速度方向相同，故D正確．
故選：D

點評 該題結合平拋運動考查機械能守恒，解決本題的關鍵要掌握平拋運動的研究方法，掌握分位移公式，D項也可以根據作為結論記�。�