Question

15．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，第一象限中有一半徑為a的圓形勻強磁場區(qū)域，磁場方向垂直紙面向外，邊界與兩個坐標(biāo)軸相切，A、B是兩個閥門（控制粒子的進出），通常情況下處于關(guān)閉狀態(tài)，其連線與X軸平行，B恰好位于Y軸上，坐標(biāo)為（0，$a+\frac{\sqrt{2}}{2}a$）兩閥門間距為d，有一粒子源發(fā)射具有沿AB方向各種速度的同一種帶正電粒子（粒子所受重力不計），某時刻閥門A開啟，$\frac{t}{2}$后A關(guān)閉，又過t后B開啟，再過$\frac{t}{2}$后B也關(guān)閉．由兩閥門通過的粒子垂直進入第一象限的圓形磁場中，其中速度最大的粒子離開磁場后，恰好能垂直通過X軸．不考慮粒子間的相互作用，求，
（1）穿過A和B進入磁場的粒子的最大速度和最小速度
（2）最后離開磁場的粒子通過Y軸的坐標(biāo)
（3）從第一個粒子進入磁場到最后一個粒子離開磁場經(jīng)歷的總時間．

Answer 1

分析 穿過A和B進入磁場的粒子在AB間做勻速直線運動，時間最短時速度最大，時間最長時速度最小；根據(jù)幾何關(guān)系求出速度最大的和速度最小的粒子在磁場中運動半徑，利用幾何關(guān)系速度最大的偏轉(zhuǎn)四分之一圓周垂直x軸射出，速度最小的偏轉(zhuǎn)二分之一圈垂直y軸射出：第三問以B打開為計時起點，最快的正好B，最慢的還需要$\frac{t}{2}$到達B，計算出最快的到達磁場時間，最慢的從打開B到離開磁場的時間，兩者之差即是所求時間．

解答 解：（1）A關(guān)閉時進入，B打開時通過的粒子具有最大速度，${v}_{1}^{\;}=\frac19pxpln{t}$
A打開時通過，B關(guān)閉時通過的粒子具有最小速度${v}_{2}^{\;}=\frach1fxdxx{2t}$
（2）速度最大的粒子恰好垂直通過x軸，在磁場中運動的幾何半徑為：${R}_{1}^{\;}=\sqrt{2}a$
根據(jù)：$Bqv=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
可得：最小速度的粒子在磁場中運動的半徑為：${R}_{2}^{\;}=\frac{\sqrt{2}a}{2}$
由幾何關(guān)系可得，粒子恰好垂直y軸射出，其坐標(biāo)為（0，$a-\frac{\sqrt{2}a}{2}$）
（3）設(shè)B打開時為零時刻，最快粒子到達磁場需要時間：${t}_{1}^{\;}=\frac{a-\frac{\sqrt{2}}{2}a}bbrdzflt$
最慢粒子由B到達磁場所用時間：${t}_{2}^{\;}=\frac{a-\frac{\sqrt{2}}{2}a}bhvh1992t$
最慢粒子在磁場中運動的時間：${t}_{3}^{\;}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}πa}zvdfpdp2t$
第一個粒子進入磁場到最后一個粒子離開磁場經(jīng)歷的總時間
$△t=\frac{t}{2}+{t}_{2}^{\;}+{t}_{3}^{\;}-{t}_{1}^{\;}$
得：$△t=\frac{t}{2}+\frac{a}jt391xt（1-\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}π）t$
答：（1）穿過A和B粒子的最大速度$\fracxztllxj{t}$，最小速度$\fracz7x3hx1{2t}$
（2）最后通過磁場的粒子通過Y軸的坐標(biāo)（0，$a-\frac{\sqrt{2}a}{2}$）
（3）第一個粒子進入磁場到最后一個粒子離開磁場經(jīng)歷的總時間$\frac{t}{2}+\frac{a}d1f3njl（1-\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}π）t$

點評 本題是帶電粒子在勻強磁場中運動的問題，分析粒子的受力情況，確定其運動情況，第三問比較難，關(guān)鍵是要理清運動的過程，弄清物理情景．