Question

3．根據(jù)牛頓的設想，只要平拋物體的速度足夠大，物體就可以沿地球表面做勻速圓周運動而不落下來；已知地球的半徑為R，引力常量為G，一個人在地面上做了測人反應速度的實驗，刻度尺下落h高度他在反應時間△t內抓住了刻度尺，不考慮地球自轉影響，試由上述信息求：
（1）牛頓的平拋速度大�。�
（2）地球質量表達式；
（3）地球的密度表達式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自由落體運動的公式求出地球表面的重力加速度，求出地球的第一宇宙速度即牛頓設想的平拋速度
（2）根據(jù)重力等于萬有引力求地球質量
（3）根據(jù)密度公式求地球的密度

解答 解：（1）刻度尺自由下落的高度與時間的關系為：
$h=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$
得：$g=\frac{2h}{{t}_{\;}^{2}}$
根據(jù)題意，牛頓設想的平拋速度即第一宇宙速度，有：
$mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得：$v=\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{2hR}{{t}_{\;}^{2}}}$
（2）地球表面物體重力等于萬有引力，有：
$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
解得：$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}=\frac{2h{R}_{\;}^{2}}{G{t}_{\;}^{2}}$
（3）地球的體積為：
$V=\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}$
地球的密度為：
$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{2h{R}_{\;}^{2}}{G{t}_{\;}^{2}}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}=\frac{3h}{2πRG{t}_{\;}^{2}}$
答：（1）牛頓設想的平拋速度大小$\sqrt{\frac{2hR}{{t}_{\;}^{2}}}$
（2）地球質量表達式$\frac{2h{R}_{\;}^{2}}{G{t}_{\;}^{2}}$
（3）地球的密度表達式$\frac{3h}{2πRG{t}_{\;}^{2}}$

點評 本題要掌握天體運動的兩個關系：萬有引力提供向心力；星球表面的物體受到的重力等于萬有引力．并能根據(jù)題意選擇恰當?shù)南蛐牧Φ谋磉_式．