Question

7．如圖甲所示，寬為L(zhǎng)，傾角為θ的平行金屬導(dǎo)軌，下端垂直于導(dǎo)軌連接一阻值為R的定值電阻，導(dǎo)軌之間加垂直于軌道平面的磁場(chǎng)，其隨時(shí)間變化規(guī)律如圖乙所示．t=0時(shí)刻磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀，此時(shí)，在導(dǎo)軌上距電阻x₁．處放一質(zhì)量為m，電阻為2R的金屬桿，t₁時(shí)刻前金屬桿處于靜止?fàn)顟B(tài)，當(dāng)磁場(chǎng)即將減小到B₁時(shí)，金屬桿也即將開始下滑（金屬桿所受的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力）．

（1）求0-t₁時(shí)間內(nèi)通過(guò)定值電阻的電荷量；
（2）求金屬桿與導(dǎo)軌間的最大靜摩擦力；
（3）若金屬桿沿導(dǎo)軌下滑x₂后開始做勻速運(yùn)動(dòng)，求金屬桿下滑x₂過(guò)程中，電阻R產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，由閉合電路的歐姆定律得出感應(yīng)電流，從而求出電荷量；
（2）根據(jù)受力平衡求出金屬桿與導(dǎo)軌間的最大靜摩擦力；
（3）金屬桿達(dá)到最大速度時(shí)，加速度等于零，受力平衡，即此時(shí)感應(yīng)電流與$0-{t}_{1}^{\;}$時(shí)間內(nèi)感應(yīng)電流大小相等，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)也相等．由開始運(yùn)動(dòng)到最大速度過(guò)程，根據(jù)能量守恒列式，從而求出整個(gè)電路產(chǎn)生的焦耳熱，從而求出電阻R上的焦耳熱．

解答 解：（1）感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)：$E=\frac{△φ}{△t}$=$\frac{L{x}_{1}^{\;}（{B}_{0}^{\;}-{B}_{1}^{\;}）}{{t}_{1}^{\;}}$
感應(yīng)電流$I=\frac{E}{3R}$
通過(guò)定值電阻的電荷量$q=I•△t=I•{t}_{1}^{\;}$
即$q=\frac{（{B}_{0}^{\;}-{B}_{1}^{\;}）L{x}_{1}^{\;}}{3R}$
（2）在${t}_{1}^{\;}$時(shí)刻，對(duì)桿有：
$mgsinθ-{f}_{m}^{\;}-{F}_{安}^{\;}=0$
其中${F}_{安}^{\;}={B}_{1}^{\;}IL$
聯(lián)立可得：${f}_{m}^{\;}=mgsinθ-\frac{{B}_{1}^{\;}（{B}_{0}^{\;}-{B}_{1}^{\;}）{L}_{\;}^{2}{x}_{1}^{\;}}{3R{t}_{1}^{\;}}$
（3）當(dāng)金屬桿達(dá)到最大速度時(shí)
$mgsinθ-{f}_{m}^{\;}-{F}_{安}^{′}=0$
即此時(shí)感應(yīng)電流與$0-{t}_{1}^{\;}$時(shí)間內(nèi)感應(yīng)電流大小相等，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)也相等．
所以${B}_{1}^{\;}Lv=\frac{L{x}_{1}^{\;}（{B}_{0}^{\;}-{B}_{1}^{\;}）}{{t}_{1}^{\;}}$
從開始到達(dá)到最大速度過(guò)程
$mg{x}_{2}^{\;}sinθ={Q}_{焦}^{\;}+{Q}_{滑}^{\;}+\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$
其中${Q}_{滑}^{\;}={f}_{m}^{\;}{x}_{2}^{\;}$
電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱
${Q}_{R}^{\;}=\frac{1}{3}{Q}_{焦}^{\;}$
解得：${Q}_{R}^{\;}=\frac{{B}_{1}^{\;}（{B}_{0}^{\;}-{B}_{1}^{\;}）{L}_{\;}^{2}{x}_{1}^{\;}{x}_{2}^{\;}}{9R{t}_{1}^{\;}}$$-\frac{m{x}_{1}^{2}（{B}_{0}^{\;}-{B}_{1}^{\;}）_{\;}^{2}}{6{B}_{1}^{2}{t}_{1}^{2}}$
答：（1）0-t₁時(shí)間內(nèi)通過(guò)定值電阻的電荷量$\frac{（{B}_{0}^{\;}-{B}_{1}^{\;}）L{x}_{1}^{\;}}{3R}$；
（2）金屬桿與導(dǎo)軌間的最大靜摩擦力$mgsinθ-\frac{{B}_{1}^{\;}（{B}_{0}^{\;}-{B}_{1}^{\;}）{L}_{\;}^{2}{x}_{1}^{\;}}{3R{t}_{1}^{\;}}$；
（3）若金屬桿沿導(dǎo)軌下滑x₂后開始做勻速運(yùn)動(dòng)，金屬桿下滑x₂過(guò)程中，電阻R產(chǎn)生的焦耳熱為$\frac{{B}_{1}^{\;}（{B}_{0}^{\;}-{B}_{1}^{\;}）{L}_{\;}^{2}{x}_{1}^{\;}{x}_{2}^{\;}}{9R{t}_{1}^{\;}}-$$\frac{m{x}_{1}^{2}（{B}_{0}^{\;}-{B}_{1}^{\;}）_{\;}^{2}}{6{B}_{1}^{2}{t}_{1}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 此題綜合考查了法拉第電磁感應(yīng)定律以及能量守恒定律的應(yīng)用；解題時(shí)要認(rèn)真分析物理過(guò)程，結(jié)合題目所給的B-t圖象求解電動(dòng)勢(shì)，搞清物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的能量轉(zhuǎn)化關(guān)系．