Question

13．如圖甲，空間四個(gè)區(qū)域分布著理想邊界的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)：L₁與L₂之間有豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)E₁，L₂與L₃之間有平形于L₂的交變電場(chǎng)E₂，E₂隨時(shí)間變化的圖象如圖乙所示（設(shè)向右為正方向），L₃與L₄之間有勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₁，L₄上方有勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₂，B₂=2B₁，邊界L₄上某位置固定一絕緣擋板P（厚度不計(jì)，且粒子與擋板碰撞沒(méi)有能量損失），P的中垂線與L₁交于O點(diǎn)．t=0時(shí)刻在O點(diǎn)釋放一帶正電粒子（不計(jì)重力），粒子經(jīng)電場(chǎng)E₁加速后進(jìn)入電場(chǎng)E₂，經(jīng)E₂偏轉(zhuǎn)后進(jìn)入磁場(chǎng)B₁，在磁場(chǎng)B₁中恰好繞P的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，此后又恰好回到O點(diǎn)，并做周期性運(yùn)動(dòng)，已知量有：粒子的質(zhì)量為m=10^-10kg，電荷量為q=10^-10C，E₁=1000V/m，E₂=100V/m，L₁與L₂的間距d₁=5cm，L₂與L₃的間距d₂=$\sqrt{3}$m．求：
（1）粒子進(jìn)入電場(chǎng)E₂時(shí)的速度v₀
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的大小
（3）若粒子在t=T時(shí)刻剛好返回O點(diǎn)，則T的值是多少？

Answer 1

分析 （1）粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式與動(dòng)能定理求出時(shí)間與速度．
（2）粒子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出粒子的速度，粒子在磁場(chǎng)中作嘔勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，應(yīng)用牛頓第二定律可以求出磁感應(yīng)強(qiáng)度．
（3）求出粒子在各階段的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，然后求出時(shí)間T．

解答 解：（1）粒子在L₁與L₂間經(jīng)電場(chǎng)E₁加速，設(shè)加速時(shí)間為t₁，
由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式得：d₁=$\frac{1}{2}$at₁²=$\frac{1}{2}$$\frac{q{E}_{1}}{m}$t₁²，
根據(jù)動(dòng)能定理有：qE₁d₁=$\frac{1}{2}$mv₁²-0，解得：t₁=0.01s，v₀=10m/s；
（2）粒子在L₂與L₃間經(jīng)電場(chǎng)E₂偏轉(zhuǎn)，做類平拋運(yùn)動(dòng)，
設(shè)粒子偏轉(zhuǎn)時(shí)間為t₂，偏轉(zhuǎn)加速度為a₂，越過(guò)L₃時(shí)速度為v，
其沿L₃的分速度為v_x，有：d₂=v₀t₂，解得：t₂=$\frac{\sqrt{3}}{10}$s，
由牛頓第二定律得：a₂=$\frac{q{E}_{2}}{m}$=$\frac{1{0}^{-10}×100}{1{0}^{-10}}$=100m/s²，
水平速度：v_x=a₂t₂=100×$\frac{\sqrt{3}}{10}$=10$\sqrt{3}$m/s，速度：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{x}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}+（10\sqrt{3}）^{2}}$=20m/s，
設(shè)粒子越過(guò)L₃時(shí)離OP的距離為x，且與L₃的夾角為θ，
有：x=$\frac{1}{2}$a₂t₂²=$\frac{1}{2}$×100×$（\frac{\sqrt{3}}{10}）^{2}$=1.5m，sinθ=$\frac{{v}_{0}}{v}$=$\frac{10}{20}$=$\frac{1}{2}$，解得：θ=30°，
故粒子在磁場(chǎng)B₁中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：r=$\frac{x}{sin30°}$=$\frac{1.5}{0.5}$=3m，
洛侖茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：qvB₁=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：B₁=$\frac{20}{3}$T；
（3）據(jù)題意，粒子在0-0.5T內(nèi)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)，軌跡關(guān)于OP對(duì)稱
在電場(chǎng)E₁中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：2t₁=0.02s，
在電場(chǎng)E₂中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：2t₂=$\frac{\sqrt{3}}{5}$s，
在磁場(chǎng)B₁中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t₃=2×$\frac{60°}{360°}$×$\frac{2πm}{q{B}_{1}}$=0.1πs，
在磁場(chǎng)B₂中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t₄=$\frac{2πm}{q{B}_{2}}$=0.15πs，
周期：T=t₁+t₂+t₃+t₄=（0.02+0.2$\sqrt{3}$+0.25π）s；
答：（1）粒子進(jìn)入電場(chǎng)E₂時(shí)的速度v₀為10m/s；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的大小為$\frac{20}{3}$T；
（3）若粒子在t=T時(shí)刻剛好返回O點(diǎn)，則T的值是（0.02+0.2$\sqrt{3}$+0.25π）s．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在電場(chǎng)與磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，粒子在加速電場(chǎng)中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程、作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的前提與關(guān)鍵，應(yīng)用牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、洛倫茲力公式即可解題；要掌握處理粒子在電場(chǎng)與磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的方法．