Question

3．如圖1所示，四條水平虛線等間距的分布在同一豎直面上，間距均為h．在Ⅰ、Ⅱ兩區(qū)間分布著完全相同，方向水平向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小按圖2B-t圖變化．現(xiàn)有一個(gè)長(zhǎng)方形金屬線框ABCD，質(zhì)量為m，電阻為R，AB=CD=L，AD=BC=2h．用一輕質(zhì)的細(xì)線把線框ABCD豎直懸掛，AB邊與M₂N₂重合（仍位于磁場(chǎng)中）．t₀（未知）時(shí)刻磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀（已知），且此時(shí)刻細(xì)線恰好松弛．之后剪斷細(xì)線，當(dāng)CD邊到達(dá)磁場(chǎng)Ⅱ區(qū)的中間位置時(shí)線框恰好勻速運(yùn)動(dòng)．空氣阻力不計(jì)，重力加速度為g．

（1）求t₀的值；
（2）求線框AB邊到達(dá)M₄N₄時(shí)的速率v；
（3）從剪斷細(xì)線到整個(gè)線框通過(guò)兩個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域的過(guò)程中產(chǎn)生的熱量．

Answer 1

分析 （1）細(xì)線恰好松弛，線框受力平衡，安培力等于重力，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和歐姆定律可得出t₀的值
（2）線框的CD邊到達(dá)M₃N₃前一直做自由落體運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式求解即可；
（3）根據(jù)能量守恒得：重力勢(shì)能減少量等于線框動(dòng)能與內(nèi)能之和．

解答 解：（1）細(xì)線恰好松弛，線框受力分析有：
B₀IL=mg
根據(jù)閉合電路歐姆定律，有：
$I=\frac{E}{R}$                                              
因感生產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)：
$E=\frac{△φ}{△t}=\frac{{{B_0}Lh}}{t_0}$        
聯(lián)立解得：
${t_0}=\frac{{{B_0}^2{L^2}h}}{mgR}$
（2）線框AB邊到達(dá)M₄N₄的過(guò)程中一直做自由落體運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理，有：
$mg2h=\frac{1}{2}mv_1^2$
解得：${v_1}=\sqrt{4gh}$
（3）CD邊到達(dá)磁場(chǎng)Ⅱ區(qū)的中間位置時(shí)線框恰好勻速運(yùn)動(dòng)，線框受力分析有：
B₀I'L=mg
根據(jù)閉合電路歐姆定律，有：
$I'=\frac{E'}{R}$
因CD棒切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)：
E'=B₀Lv'
解得：$v'=\frac{mgR}{{B_0^2{L^2}}}$
解法一：當(dāng)CD邊到達(dá)M₃N₃時(shí)的速度設(shè)為v₂
根據(jù)動(dòng)能定理：$mg3h=\frac{1}{2}mv_2^2$
解得：${v_2}=\sqrt{6gh}$
從CD邊穿過(guò)磁場(chǎng)Ⅱ的過(guò)程中，根據(jù)能量守恒得：重力勢(shì)能減少量等于線框動(dòng)能變化與電熱之和：
$mgh=Q+\frac{1}{2}m{v'^2}-\frac{1}{2}m{v_2}^2$
解得：$Q=4mgh-\frac{{{m^3}{g^2}{R^2}}}{{2B_0^4{L^4}}}$
解法二：線框從靜止開(kāi)始下落到CD邊剛離開(kāi)M₄N₄的過(guò)程中，根據(jù)能量守恒得：重力勢(shì)能減少量等于線框動(dòng)能變化與電熱之和：
$mg4h=Q+\frac{1}{2}m{v'^2}$
解得：$Q=4mgh-\frac{{{m^3}{g^2}{R^2}}}{{2B_0^4{L^4}}}$
答：（1）t₀的值為$\frac{{{B}_{0}}^{2}{L}^{2}h}{mgR}$；
（2）線框AB邊到達(dá)M₄N₄時(shí)的速率v為$\sqrt{4gh}$；
（3）從剪斷細(xì)線到整個(gè)線框通過(guò)兩個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域的過(guò)程中產(chǎn)生的熱量為$4mgh-\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{2{B}_{0}^{4}{L}^{4}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題為力電綜合題，難度較大，要注意挖掘隱含條件，巧妙應(yīng)用動(dòng)能定理和能量守恒定律，同時(shí)要明白克服安培力做功過(guò)程就是產(chǎn)生電能的過(guò)程，并且二者的數(shù)值上相等．