Question

6．宇宙中兩個(gè)相距較近的天體稱為“雙星”，它們以兩者連線上的某一點(diǎn)為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，但兩者不會(huì)因?yàn)槿f(wàn)有引力的作用而吸引在一起．設(shè)兩者的質(zhì)量分別為m₁和m₂，兩者相距為L(zhǎng)．雙星的軌道半徑之比v₁：v₂=m₂：m₁；雙星的角速度為$\sqrt{\frac{G（{{m}_{1}+m}_{2}）}{{L}^{3}}}$．

Answer 1

分析 雙星靠相互間的萬(wàn)有引力提供向心力，抓住角速度相等，向心力相等求出軌道半徑之比；根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力求出角速度的大�。�

解答 解：對(duì)兩天體，由萬(wàn)有引力提供向心力，可分別列出
G$\frac{{{m}_{1}m}_{2}}{{L}^{2}}$=m₁ω²R₁…①
G$\frac{{{m}_{1}m}_{2}}{{L}^{2}}$=m₂ω²R₂…②
所以 $\frac{{R}_{1}}{{R}_{2}}$=$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}$，即它們的軌道半徑之比等于質(zhì)量的反比，
v=ωr，所以v₁：v₂=m₂：m₁，
由①式得ω²=G $\frac{{m}_{2}}{{{L}^{2}R}_{1}}$=G $\frac{{m}_{2}}{{L}^{2}（{L-R}_{2}）}$…③
由②式得R₂=G $\frac{{m}_{1}}{{{L}^{2}ω}^{2}}$…④
④式代入③式得ω=$\sqrt{\frac{G（{{m}_{1}+m}_{2}）}{{L}^{3}}}$，
故答案為：m₂：m₁；$\sqrt{\frac{G（{{m}_{1}+m}_{2}）}{{L}^{3}}}$

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握雙星模型系統(tǒng)，知道它們靠相互間的萬(wàn)有引力提供向心力，向心力的大小相等，角速度的大小相等．