Question

20．如圖所示，在x軸下方的區(qū)域內(nèi)存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度為E，在x軸上方有半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場，磁場的方向垂直于xy平面并指向紙面內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．y軸下方的A點(diǎn)與O點(diǎn)的距離為d，一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶負(fù)電粒子從A點(diǎn)由靜止釋放，經(jīng)電場加速后從O點(diǎn)射入磁場，不計(jì)粒子的重力作用．
（1）求粒子在磁場中運(yùn)動的軌道半徑r；
（2）要使粒子進(jìn)入磁場之后不再經(jīng)過x軸，電場強(qiáng)度需大于或等于某個(gè)值E₀，求E₀；
（3）若電場強(qiáng)度E等于第（2）問E₀的$\frac{1}{3}$，求粒子經(jīng)過x軸時(shí)的位置．

Answer 1

分析 （1）由動能定理求出電場加速后粒子的速度．粒子進(jìn)入磁場后做圓周運(yùn)動，由洛倫茲力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律求解其軌道半徑r；
（2）粒子之后恰好不再經(jīng)過x軸，則離開磁場時(shí)的速度方向與x軸平行，由幾何關(guān)系求出軌道半徑，再由上題的結(jié)果求解電場強(qiáng)度E₀；
（3）將E=$\frac{1}{3}$E₀代入第1小題可得磁場中運(yùn)動的軌道半徑．畫出粒子的運(yùn)動軌跡，由幾何關(guān)系求解粒子經(jīng)過x軸時(shí)的位置坐標(biāo)．

解答 解：（1）粒子在電場中加速，由動能定理得
 qEd=$\frac{1}{2}$mv²      
粒子進(jìn)入磁場后做圓周運(yùn)動，有
 qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$        
解得粒子在磁場中運(yùn)動的半徑 r=$\frac{\sqrt{2mqEd}}{qB}$          
（2）粒子之后恰好不再經(jīng)過x軸，則離開磁場時(shí)的速度方向與x軸平行，運(yùn)動情況如圖①，
可得 r=R            
由以上各式解得  E₀=$\frac{{q{B^2}{R^2}}}{2md}$
（3）將E=$\frac{1}{3}$E₀代入r=$\frac{\sqrt{2mqEd}}{qB}$，可得磁場中運(yùn)動的軌道半徑   r=$\frac{R}{\sqrt{3}}$
粒子運(yùn)動情況如圖②，圖中的角度α、β滿足 $tanα=\frac{r}{R}$
 β=90°-2α
粒子經(jīng)過x軸時(shí)的位置坐標(biāo)為 x=r+$\frac{r}{sinβ}$
解得 x=$\sqrt{3}$R． 
答：
（1）粒子在磁場中運(yùn)動的軌道半徑r是$\frac{\sqrt{2mqEd}}{qB}$；
（2）要使粒子進(jìn)入磁場之后不再經(jīng)過x軸，電場強(qiáng)度需大于或等于某個(gè)值E₀，E₀是$\frac{{q{B^2}{R^2}}}{2md}$；
（3）若電場強(qiáng)度E等于第（2）問E₀的$\frac{1}{3}$，粒子經(jīng)過x軸時(shí)的位置是$\sqrt{3}$R．

點(diǎn)評 帶電粒子在磁場中的題目關(guān)鍵在于明確粒子圓周運(yùn)動的圓心和半徑，要根據(jù)題意畫出軌跡，結(jié)合幾何知識解答．