Question

13．小伙伴在河岸做拋石子游戲．如圖所示為河的橫截面示意圖，小亮自O(shè)點(diǎn)以垂直岸邊的水平速度向?qū)Π稈伿�子．已知O點(diǎn)離水面AB的高度為h，O、A兩點(diǎn)間的水平距離為x₁，水面AB的寬度為x₂，河岸傾角為θ，重力加速度為g．
（1）若石子直接落到水面上，求其在空中飛行的時間t；
（2）為使石子直接落到水面上，求拋出時速度大小的v₀的范圍；
（3）若石子質(zhì)量為m，拋出速度大小為v時恰好在C點(diǎn)垂直撞擊河坡，求石子從O到C過程中減少的重力勢能△E_P．

Answer 1

分析 （1）依據(jù)平拋豎直方向做自由落體運(yùn)動可得飛行時間；
（2）依據(jù)水平位移可判定速度范圍；
（3）依據(jù)石子在C點(diǎn)垂直撞擊斜坡，即石子瞬時速度在C點(diǎn)與斜坡垂直，可求飛行時間，進(jìn)而得到下落高度，求出減少的重力勢能．

解答 解：（1）若石子直接落到水平上，根據(jù)平拋運(yùn)動豎直方向分運(yùn)動可看作自由落體運(yùn)動可得：
$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
解得：
$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$．
（2）拋出時速度的大小范圍是：
x₁≤v₀t≤x₁+x₂，
解得：
${x}_{1}\sqrt{\frac{g}{2h}}≤{v}_{0}≤{（x}_{1}+{x}_{2}）\sqrt{\frac{g}{2h}}$．
（3）由題意可知，石子在C點(diǎn)垂直撞擊斜坡，即石子瞬時速度在C點(diǎn)與斜坡垂直，根據(jù)幾何關(guān)系可得：
$\frac{v}{g{t}_{0}}=tanθ$，
即：
${t}_{0}=\frac{v}{gtanθ}$，
石子O點(diǎn)到C點(diǎn)下降的高度為：$H=\frac{1}{2}g{{t}_{0}}^{2}=\frac{{v}^{2}}{2gta{n}^{2}θ}$
石子從O到C過程中減少的重力勢能為：$△{E}_{P}=mgH=\frac{{mv}^{2}}{2ta{n}^{2}θ}$．
答：（1）若石子直接落到水面上，求其在空中飛行的時間$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$；
（2）為使石子直接落到水面上，求拋出時速度大小的v₀的范圍${x}_{1}\sqrt{\frac{g}{2h}}≤{v}_{0}≤{（x}_{1}+{x}_{2}）\sqrt{\frac{g}{2h}}$；
（3）若石子質(zhì)量為m，拋出速度大小為v時恰好在C點(diǎn)垂直撞擊河坡，求石子從O到C過程中減少的重力勢能$\frac{m{v}^{2}}{2ta{n}^{2}θ}$．

點(diǎn)評 該題的重點(diǎn)是掌握平拋運(yùn)動的規(guī)律，要能夠巧妙利用平拋打在斜面上的速度方向關(guān)系，這個是解決平拋與斜面結(jié)合的關(guān)鍵點(diǎn)．