Question

2．如圖甲所示，一對(duì)平行金屬板M、N長(zhǎng)為L(zhǎng)，相距為d，O₁O為中軸線．當(dāng)兩板間加電壓U_MN=U₀時(shí)，兩板間為勻強(qiáng)電場(chǎng)，忽略?xún)蓸O板外的電場(chǎng)．某種帶負(fù)電的粒子從O₁點(diǎn)以速度v₀沿O₁O方向射入電場(chǎng)，粒子恰好打在上極板M的中點(diǎn)，粒子重力忽略不計(jì)．

（1）求帶電粒子的比荷$\frac{q}{m}$；
（2）若MN間加如圖乙所示的交變電壓，其周期$T=\frac{L}{{2{v_0}}}$，從t=0開(kāi)始，前$\frac{T}{3}$內(nèi)U_MN=2U，后$\frac{2T}{3}$內(nèi)U_MN=-U，大量的上述粒子仍然以速度v₀沿O₁O方向持續(xù)射入電場(chǎng)，最終所有粒子剛好能全部離開(kāi)電場(chǎng)而不打在極板上，求U的值；
（3）緊貼板右側(cè)建立xOy坐標(biāo)系，在xOy坐標(biāo)第I、IV象限某區(qū)域內(nèi)存在一個(gè)圓形的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向垂直于xOy坐標(biāo)平面，要使在（2）問(wèn)情景下所有粒子經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后都會(huì)聚于坐標(biāo)為（2d，2d）的P點(diǎn)，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小范圍．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)的合成與分解規(guī)律可求得比荷；
（2）由題意可知粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，根據(jù)電場(chǎng)的周期性變化規(guī)律可明確粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，根據(jù)條件則可求得電壓值；
（3）所有粒子在磁場(chǎng)中均做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)題意由幾何關(guān)系可明確磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小范圍．

解答 解：（1）設(shè)粒子經(jīng)過(guò)時(shí)間t₀打在M板中點(diǎn)，沿極板方向有：
$\frac{1}{2}L={v_0}{t_0}$
垂直極板方向有：
$\frac{1}{2}d=\frac{{q{U_0}}}{2md}{t_0}^2$
解得：$\frac{q}{m}=\frac{{4{d^2}v_0^2}}{{{U_0}{L^2}}}$
（2）粒子通過(guò)兩板時(shí)間為：$t=\frac{L}{v_0}=2T$
從t=0時(shí)刻開(kāi)始，粒子在兩板間運(yùn)動(dòng)時(shí)每個(gè)電壓變化周期的前三分之一時(shí)間內(nèi)的加速度大小${a_1}=\frac{2qU}{md}$，方向垂直極板向上；在每個(gè)電壓變化周期的后三分之二時(shí)間內(nèi)加速度大小${a_2}=\frac{qU}{md}$，方向垂直極板向下．不同時(shí)刻從O₁點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)的粒子在電場(chǎng)方向的速度v_y隨時(shí)間t變化的關(guān)系如圖所示．
因?yàn)樗�有粒子剛好能全部離開(kāi)電場(chǎng)而不打在極板上，可以確定在t=nT或$t=nT+\frac{1}{3}T$時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)的粒子恰好分別從極板右側(cè)上下邊緣處飛出．它們?cè)陔妶?chǎng)方向偏轉(zhuǎn)的距離最大．有：$\fracxolpazf{2}=2[\frac{1}{2}（{a_1}\frac{T}{3}）T]$
解得：$U=\frac{{3{U_0}}}{4}$
（3）所有粒子射出電場(chǎng)時(shí)速度方向都平行于x軸，大小為v₀．設(shè)粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑為r，則有：$q{v_0}B=m\frac{v_0^2}{r}$
解得：$r=\frac{{m{v_0}}}{qB}$
粒子進(jìn)入圓形區(qū)域內(nèi)聚焦于P點(diǎn)時(shí)，磁場(chǎng)區(qū)半徑R應(yīng)滿足：R=r
在圓形磁場(chǎng)區(qū)域邊界上，P點(diǎn)縱坐標(biāo)有最大值，如圖所示．
磁場(chǎng)區(qū)的最小半徑為：${R_{min}}=\frac{5}{4}d$，
對(duì)應(yīng)磁感應(yīng)強(qiáng)度有最大值為：${B_{max}}=\frac{{4m{v_0}}}{5qd}$=$\frac{{U}_{0}{L}^{2}}{5ocrrtvq^{3}{v}_{0}}$
磁場(chǎng)區(qū)的最大半徑為：R_max=2d，
對(duì)應(yīng)磁感應(yīng)強(qiáng)度有最小值為：${B_{min}}=\frac{{m{v_0}}}{2qd}$=$\frac{{U}_{0}{L}^{2}}{8xzvpoji^{3}{v}_{0}^{\;}}$
所以，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的可能范圍為：$\frac{{U}_{0}{L}^{2}}{8wcojmfo^{3}{v}_{0}^{\;}}$≤B$\frac{{U}_{0}{L}^{2}}{5xovrbwc^{3}{v}_{0}}$
答：（1）帶電粒子的比荷$\frac{4qqldguf^{2}{v}_{0}^{2}}{{U}_{0}{L}^{2}}$；
（2）電壓U的值為$\frac{3{U}_{0}}{4}$
（3）緊磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小范圍$\frac{{U}_{0}{L}^{2}}{8rvzitrg^{3}{v}_{0}^{\;}}$≤B$\frac{{U}_{0}{L}^{2}}{5bbthorq^{3}{v}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，要注意電場(chǎng)中類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)由運(yùn)動(dòng)的合成與分解求解；而磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)解題的關(guān)鍵在于幾何關(guān)系的把握．