Question

8．如圖所示，AB是傾角為θ=53°的粗糙直軌道，BCD是光滑的圓弧軌道，AB恰好在B點與圓弧相切，圓弧的半徑為R=$\frac{25}{3}$m．一個質量m=1kg的物體（可以看作質點）從直軌道上的某處P點由靜止釋放，沿軌道下滑，它第一次在圓弧軌道上運動時，恰能運動到與圓心O等高處的C點．已知物體與軌道AB間的動摩擦因數μ=0.5．求：

（1）第一次通過E點的速度及物體對軌道的壓力大��？
（2）PB的距離？
（3）通過足夠長時間后，物體在斜面上運動的總路程？（g取10m/s²）

Answer 1

分析 （1）物體剛好到達C點，從E到C根據動能定理求的E點速度，根據牛頓第二定律求的與軌道的作用力；
（2）從P到E由動能定理即可求得斜面的位移
（3）物體最終不會靜止在E點，而是在底部做圓周運動，達到的最高點為B，整個過程由動能定理即可求得路程

解答 解：（1）物體恰好到達C點，故C點的速度為0，從E到C根據動能定理可得：
$-mgR=0-\frac{1}{2}{mv}_{E}^{2}$
解得：${v}_{E}=\sqrt{2gR}=\sqrt{2×10×\frac{25}{3}}m/s=\frac{10\sqrt{15}}{3}m/s$
由牛頓第二定律可得：${F}_{N}-mg=\frac{{mv}_{E}^{2}}{R}$
解得：F_N=30N
根據牛頓第三定律可知對軌道的壓力為30N
（2）從P到E由動能定理可得：-μmgxcosθ+mgxsinθ+mgR（1-cosθ）=$\frac{1}{2}{mv}_{E}^{2}-0$
解得：x=10m
（3）最終物體會在元底部做圓周運動的一部分，達到的最高點為B點，且速度為零，整個過程中由動能定理可得：
mgxsinθ-μmgscosθ=0-0
解得：$s=\frac{80}{3}m$
答：（1）第一次通過E點的速度及物體對軌道的壓力大小為30N
（2）PB的距離為10m
（3）通過足夠長時間后，物體在斜面上運動的總路程為$\frac{80}{3}m$

點評 本題綜合應用了動能定理求摩擦力做的功、圓周運動及圓周運動中能過最高點的條件，對動能定理、圓周運動部分的內容考查的較全，是圓周運動部分的一個好題