Question

12．如圖所示，質(zhì)量為M的小車(chē)的上表面由均勻粗糙的水平段ac和光滑的四分之一圓弧段cd組成，b是ac段的中點(diǎn)，小車(chē)靜止在光滑的水平面上，一質(zhì)量為m的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）從小車(chē)左端點(diǎn)a處以水平初速度v₀沖上小車(chē)水平段．如果小車(chē)固定，小物塊恰好能返回a處，如果小車(chē)不固定，下列是否正確的是（　�。�

• A． 小物塊還是恰好能返回a處
• B． 小物塊一定能通過(guò)c處再返回
• C． 如果M=m，小物塊一定相對(duì)小車(chē)停在b處
• D． 如果M=m，小物塊一定相對(duì)小車(chē)停在c處

Answer 1

分析 小車(chē)固定時(shí)，根據(jù)動(dòng)能定理小物塊克服摩擦力做的功等于小物塊損失的動(dòng)能，小車(chē)不固定時(shí)小車(chē)和小物塊組成的系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒據(jù)此分析求解即可．

解答 解：令A(yù)C的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，當(dāng)車(chē)小車(chē)固定時(shí)，根據(jù)動(dòng)能定理有：
$-2μmgL=0-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
可得：$μmgL=\frac{1}{4}m{v}_{0}^{2}$
當(dāng)小車(chē)不固定時(shí)，小物塊要滑離小車(chē)，系統(tǒng)克服摩擦力做的功為$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，而系統(tǒng)總能量為$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，根據(jù)系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒和能量守恒可知小物塊將不能滑離小車(chē)，即最終小物塊和小車(chē)將以共同的速度運(yùn)動(dòng)：
小車(chē)和小物塊組成的系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒，有：
mv₀=（m+M）v
最后小物塊和小車(chē)的共同速度v=$\frac{m}{m+M}{v}_{0}$
A、根據(jù)能量守恒，小車(chē)和小物塊最終有共同速度，根據(jù)能量守恒可知，小物塊不可能滑到a處，故A錯(cuò)誤；
B、根據(jù)功能關(guān)系，小物塊相對(duì)于小車(chē)滑動(dòng)的距離滿(mǎn)足：$-μmgs=\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，代入速度v可得小物塊相對(duì)于小車(chē)滑動(dòng)的距離s=$\frac{2M}{M+m}L$，當(dāng)m大于M時(shí)，小物塊相對(duì)于小車(chē)滑動(dòng)的距離小于L，故小物塊不能滑到c處，故B不正確；
CD、當(dāng)M=m時(shí)，可得共同速度$v=\frac{{v}_{0}}{2}$，根據(jù)動(dòng)能定理可得，小物塊相對(duì)于小車(chē)運(yùn)動(dòng)的總距離s滿(mǎn)足：$-μmgs=\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$可得s=L，即小物塊相對(duì)于小車(chē)停在c處，故C錯(cuò)誤D正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 解決本問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住小車(chē)釋放時(shí)系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，掌握功能關(guān)系的應(yīng)用是正確解題的關(guān)鍵．