Question

12．北京正負(fù)電子對撞機(jī)是國際上唯一高亮度對撞機(jī)，它主要由直線加速器、電子分離器、環(huán)形儲存器和對撞測量區(qū)組成，圖（甲）是對撞測量區(qū)的結(jié)構(gòu)圖，其簡化原理如圖（乙）所示：MN和PQ為足夠長的水平邊界，豎直邊界EF將整個(gè)區(qū)域分成左右兩部分，Ⅰ區(qū)域的磁場方向垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，Ⅱ區(qū)域的磁場方向垂直紙面向外．調(diào)節(jié)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小可以使正負(fù)電子在測量區(qū)內(nèi)不同位置進(jìn)行對撞．經(jīng)加速和積累后的電子束以相同速率分別從注入口C和D同時(shí)入射，入射方向平行EF且垂直磁場．已知注入口C、D到EF的距離均為d，邊界MN和PQ的間距為4$\sqrt{3}$d，正、負(fù)電子的質(zhì)量均為m，所帶電荷量分別為+e和-e．

（1）判斷從注入口C、D入射的分別是哪一種電子；
（2）若將Ⅱ區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小調(diào)為B，正負(fù)電子以v₁=$\frac{2deB}{m}$的速率同時(shí)射入，則正負(fù)電子經(jīng)多長時(shí)間相撞？
（3）若電子束以v₂=$\frac{（2-\sqrt{2}）deB}{m}$的速率入射，欲實(shí)現(xiàn)正負(fù)電子對撞，求Ⅱ區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度B_Ⅱ的大�。�

Answer 1

分析 （1）直接由左手定則可判定；
（2）做出電子射入后的軌跡，由洛倫茲力提供向心力結(jié)合周期公式和數(shù)學(xué)知識聯(lián)立解得相撞時(shí)間；
（3）做出示意圖，由洛倫茲力提供向心力結(jié)合數(shù)學(xué)知識得出磁感強(qiáng)度的通式，要保證對撞，正負(fù)電子的軌跡既不能超過上下邊界，又不能彼此相切，找到需滿足的條件，討論分析得到）Ⅱ區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度B_Ⅱ的大小有3個(gè)值．

解答 解：（1）由左手定則可知，從C入射的為正電子，從D入射的為負(fù)電子；
（2）電子射入后的軌跡如圖甲所示

電子在Ⅰ、Ⅱ區(qū)域中運(yùn)動(dòng)時(shí)半徑相同，設(shè)為r
由eBv₁=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{r}$ 得：r=2d
cosθ=$\frac{r-d}{r}$=$\frac{1}{2}$，得：θ=60⁰
T=$\frac{2πm}{eB}$
對撞時(shí)間：t=2×$\frac{T}{6}$=$\frac{2πm}{3eB}$
（3）如圖乙所示，由eBv₂=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{{r}_{0}}$ 得 r₀=（2-$\sqrt{2}$）d

由cosα=$\frac{d-{r}_{0}}{{r}_{0}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 得 α=45⁰
所以x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r₀=（$\sqrt{2}$-1）d
假定對撞的一種情況如圖丙所示．有：4$\sqrt{3}$d=4x+4×$\frac{\sqrt{2}}{2}$R₂

經(jīng)分析得通解式為4$\sqrt{3}$d=2nx+2n×$\frac{\sqrt{2}}{2}$R_n ①
又eB_nv₂=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{{R}_{n}}$ ②
聯(lián)立解得 B_n=$\frac{nB}{2（\sqrt{6}+\sqrt{3}）-n}$（n為正整數(shù)）③
要保證對撞，正負(fù)電子的軌跡既不能超過上下邊界，又不能彼此相切，需滿足：x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$R_n＞R_n ④
可得：n＞$\sqrt{6}$
因$\frac{4\sqrt{3}d}{{r}_{0}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{2-\sqrt{2}}$≈11.8，故Ⅰ區(qū)中沿EF方向最多只能有10個(gè)r₀，即2個(gè)八分之三圓弧和4個(gè)八分之六圓弧，經(jīng)分析可得：n≤5
所以n=3、4、5，B_Ⅱ的3個(gè)值為：$\frac{3B}{2（\sqrt{6}+\sqrt{3}）-3}$、$\frac{2B}{\sqrt{6}+\sqrt{3}-2}$、$\frac{5B}{2（\sqrt{6}+\sqrt{3}）-5}$．
 答：（1）從C入射的為正電子，從D入射的為負(fù)電子；
（2）正負(fù)電子經(jīng)$\frac{2πm}{3eB}$時(shí)間相撞；
（3）Ⅱ區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度B_Ⅱ的大小有3個(gè)值為：$\frac{3B}{2（\sqrt{6}+\sqrt{3}）-3}$、$\frac{2B}{\sqrt{6}+\sqrt{3}-2}$、$\frac{5B}{2（\sqrt{6}+\sqrt{3}）-5}$．

點(diǎn)評 帶電粒子在組合場中的運(yùn)動(dòng)問題，首先要運(yùn)用動(dòng)力學(xué)方法分析清楚粒子的運(yùn)動(dòng)情況，再選擇合適方法處理．對于勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，常常運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法，將其分解為兩個(gè)直線的合成，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求解；對于磁場中圓周運(yùn)動(dòng)，要正確畫出軌跡，由幾何知識求解半徑．