Question

17．已知一人造地球衛(wèi)星繞地球做圓周運動的周期為T，地球半徑為R，地球表面重力加速度為g．
（1）求人造地球衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的半徑r．
（2）若人造地球衛(wèi)星在地球表面附近做勻速圓周運動，求地球的平均密度p．

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力求出人造地球衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的半徑．
根據(jù)萬有引力等于重力求出地球的質(zhì)量，結合地球的體積求出地球的密度．

解答 解：（1）根據(jù)萬有引力提供向心力得$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
解得r=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$，
又GM=gR²，
解得r=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$．
（2）地球的質(zhì)量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，
則地球的密度$ρ=\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{3g}{4πRG}$．
答：（1）人造地球衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的半徑為$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$．
（2）地球的密度為$\frac{3g}{4πRG}$．

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力定律的兩個重要理論：1、萬有引力提供向心力，2、萬有引力等于重力，并能靈活運用．