Question

20．我國(guó)正在逐步建立同步衛(wèi)星與“伽利略計(jì)劃”等中低軌道衛(wèi)星等構(gòu)成的衛(wèi)星通信系統(tǒng)．
（1）若已知地球的平均半徑為R₀，自轉(zhuǎn)周期為T(mén)₀，地表的重力加速度為g，試求同步衛(wèi)星的軌道半徑R；
（2）有一顆與上述同步衛(wèi)星在同一軌道平面的低軌道衛(wèi)星，自西向東繞地球運(yùn)行，其運(yùn)行半徑為同步軌道半徑R的四分之一，試求該衛(wèi)星至少每隔多長(zhǎng)時(shí)間才在同一城市的正上方出現(xiàn)一次．（計(jì)算結(jié)果只能用題中已知物理量的字母表示）

Answer 1

分析 （1）同步衛(wèi)星的周期與地球的自轉(zhuǎn)周期相等，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，結(jié)合萬(wàn)有引力等于重力求出同步衛(wèi)星的軌道半徑．
（2）通過(guò)萬(wàn)有引力提供向心力求出周期與軌道半徑的關(guān)系，從而求出低軌道衛(wèi)星的周期．抓住轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角關(guān)系求出在同一城市的正上方出現(xiàn)的最小時(shí)間

解答 解：（1）設(shè)地球的質(zhì)量為M，同步衛(wèi)星的質(zhì)量為m，運(yùn)動(dòng)周期為T(mén)，因?yàn)樾l(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由萬(wàn)有引力提供，故
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mR（\frac{2π}{T}）^{2}$…①
同步衛(wèi)星的周期為：T=T₀…②
而在地表面，重力提供向心力，有：$mg=G\frac{Mm}{{{R}_{0}}^{2}}$…③
由①②③式解得：
R=$\root{3}{\frac{g{{R}_{0}}^{2}{{T}_{0}}^{2}}{4{π}^{2}}}$．
（2）由①式可知T²∝R³，
設(shè)低軌道衛(wèi)星運(yùn)行的周期為T(mén)′，則$\frac{T{′}^{2}}{T′}=\frac{（\frac{R}{4}）^{3}}{{R}^{3}}$
因而$T′=\frac{{T}_{0}}{8}$
設(shè)衛(wèi)星至少每隔t時(shí)間才在同一地點(diǎn)的正上方出現(xiàn)一次，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)角速度與所轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角的關(guān)系θ=ωt得：
$\frac{2π}{T′}t=2π+\frac{2π}{{T}_{0}}t$
解得：$t=\frac{{T}_{0}}{7}$，即衛(wèi)星至少每隔$\frac{{T}_{0}}{7}$時(shí)間才在同一地點(diǎn)的正上方出現(xiàn)一次．
答：（1）同步衛(wèi)星的軌道半徑為$\root{3}{\frac{g{{R}_{0}}^{2}{{T}_{0}}^{2}}{4{π}^{2}}}$．
（2）衛(wèi)星至少每隔$\frac{{T}_{0}}{7}$時(shí)間才在同一地點(diǎn)的正上方出現(xiàn)一次．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力提供向心力和萬(wàn)有引力等于重力這兩大理論，知道同步衛(wèi)星的周期與地球自轉(zhuǎn)的周期相等．