Question

2．如圖所示，質(zhì)量為m的小球用長為l且不可伸長的細(xì)線拴住且懸于O點，懸點O距離地面高為2l，細(xì)線所受拉力達(dá)到F=9mg時就會被拉斷．在懸點正下方P點固定一枚釘子，現(xiàn)將小球拉至與懸點O等高，并使細(xì)繩伸直，然后由靜止釋放，擺到懸點的正下方時細(xì)線碰到釘子．（小球半徑忽略不計，不考慮阻力及線與釘子碰撞時的能量損失）
（1）如果細(xì)線拉斷，小球落地時速度大小為$\sqrt{3gl}$，求小球落地點距O點的水平距離；
（2）若小球能繞釘子在豎直面內(nèi)做圓周運動，求釘子位置在豎直線上的取值范圍（用釘子到懸點的距離表示）

Answer 1

分析 （1）繩子斷裂后，小球做平拋運動，根據(jù)動能定理得求解平拋運動的初速度，根據(jù)t=$\sqrt{\frac{2l}{g}}$求解時間，從而求出水平位移；
（2）若小球能繞釘子在豎直面內(nèi)做圓周運動，小球運動到最高點時的速度最小為$\sqrt{gr}$，再結(jié)合動能定理求出最小的距離，在最低點，由重力和繩子的拉力提供向心力，當(dāng)繩子拉力T=9mg時，圓周運動半徑最小，則距離最大，根據(jù)向心力公式結(jié)合動能定理求解距離的最大值，進(jìn)而求出范圍．

解答 解：（1）繩子斷裂后，小球做平拋運動，根據(jù)動能定理得：
$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=mgl$
解得：v₀=$\sqrt{gl}$
平拋運動的時間為：t=$\sqrt{\frac{2l}{g}}$，
則水平位移為：x=${v}_{0}t=\sqrt{2}l$
（2）若小球能繞釘子在豎直面內(nèi)做圓周運動，設(shè)OP的距離為x，則小球做圓周運動的半徑為l-x，則小球運動到最高點時的速度最小為${v}_{min}=\sqrt{g（l-x）}$，從靜止釋放到運動到最高點的過程中，根據(jù)動能定理得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{min}}^{2}-0=mg[l-2（l-x）]$
解得：x=$\frac{3}{5}l$
在最低點，由重力和繩子的拉力提供向心力，當(dāng)繩子拉力T=9mg時，圓周運動半徑最小，則x最大，根據(jù)牛頓第二定律得：
$9mg-mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{l-x′}$
從靜止到最低點的過程中，根據(jù)動能定理得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}=mgl$
解得：x′=$\frac{3}{4}l$
則釘子位置在豎直線上的取值范圍為$\frac{3}{5}l≤x＜\frac{3}{4}l$
答：（1）如果細(xì)線拉斷，小球落地時速度大小為$\sqrt{3gl}$，小球落地點距O點的水平距離為$\sqrt{2}l$；
（2）若小球能繞釘子在豎直面內(nèi)做圓周運動，釘子位置在豎直線上的取值范圍為$\frac{3}{5}l≤x＜\frac{3}{4}l$．

點評 本題考查了平拋運動和圓周運動的綜合，知道平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規(guī)律和圓周運動向心力的來源是解決本題的關(guān)鍵，注意動能定理在解題中的應(yīng)用．