Question

20．甲乙兩名運動員在同一圓軌道上從同一地點同時沿同一繞行方向進(jìn)行跑步比賽，可認(rèn)為甲乙都做勻速圓周運動，若甲的周期為T₁，乙的周期為T₂，且T₁＞T₂
（1）至少經(jīng)過多長時間甲、乙兩運動員相距最近；
（2）至少經(jīng)過多長時間兩運動員相距最遠(yuǎn)．

Answer 1

分析 當(dāng)兩名運動員相遇時，相距最近，結(jié)合運動學(xué)公式求出相距最近的時間．當(dāng)兩運動員之間的距離為直徑時，相距最遠(yuǎn)．

解答 解：（1）設(shè)經(jīng)過t時間相距最近，
有：$\frac{2π}{{T}_{1}}t+2nπ=\frac{2π}{{T}_{2}}t$，n=1，2，3…
解得t=$\frac{n{T}_{1}{T}_{2}}{{T}_{1}-{T}_{2}}$．（n=1，2，3，…）
當(dāng)n=1時，t=$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{{T}_{1}-{T}_{2}}$．
（2）設(shè)經(jīng)過t′時間相距最遠(yuǎn)，
有：$\frac{2π}{{T}_{1}}t′+（2n-1）π=\frac{2π}{{T}_{2}}t′$，
解得$t′=\frac{（2n-1）{T}_{1}{T}_{2}}{2（{T}_{1}-{T}_{2}）}$，（n=1，2，3…）
當(dāng)n=1時，$t′=\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{2（{T}_{1}-{T}_{2}）}$．
答：（1）至少經(jīng)過時間為$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{{T}_{1}-{T}_{2}}$甲、乙兩運動員相距最近．
（2）至少經(jīng)過$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{2（{T}_{1}-{T}_{2}）}$，甲乙相距最遠(yuǎn)．

點評 本題考查了圓周運動的基本運用，知道當(dāng)兩者的路程相差為周長的整數(shù)倍時，相距最近，當(dāng)兩者的路程是半個周長的奇數(shù)倍時相距最遠(yuǎn)．