Question

15．太陽系各行星可近似看成在同一平面內沿同一方向繞太陽做勻速圓周運動．設天王星公轉周期為T₁，公轉半徑為R₁；地球公轉周期為T₂，公轉半徑為R₂．當地球和天王星運行到太陽兩側，且三者排成一條直線時，（忽略兩者之間的引力作用，萬有引力常量為G）．天王星公轉速度小于地球公轉速度．（填“大于”或“小于”）；太陽的質量為$\frac{4{π}^{2}{{R}_{1}}^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}$；天王星公轉的向心加速度與地球公轉的向心加速度之比為$\frac{{{R}_{2}}^{2}}{{{R}_{1}}^{2}}$．

Answer 1

分析 根據萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，解出速度的表達式，再判斷大�。�根據萬有引力提供向心力求解太陽的質量．根據萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=ma$，解出加速度的表達式，再計算其比值．

解答 解：G根據萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，得：$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，軌道半徑越大，速度越小，故天王星公轉速度小于地球公轉速度，
對于天王星繞太陽運動，根據萬有引力提供向心力有：$G\frac{M{m}_{1}}{{{R}_{1}}^{2}}={m}_{1}\frac{4{π}^{2}{R}_{1}}{{{T}_{1}}^{2}}$，
得太陽的質量為：$M=\frac{4{π}^{2}{{R}_{1}}^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}$，
根據萬有引力提供向心力有：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=ma$，
得：$a=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$，
所以有：$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}=\frac{{{R}_{2}}^{2}}{{{R}_{1}}^{2}}$．
故答案為：小于；$\frac{4{π}^{2}{{R}_{1}}^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}$；$\frac{{{R}_{2}}^{2}}{{{R}_{1}}^{2}}$

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力這一重要理論，并能靈活運用，知道線速度、角速度、加速度、周期與軌道半徑的關系，基礎題．