Question

12．如圖所示，固定在地面上的光滑軌道AB、CD均是半徑為R的四分之一圓�。�一質量為m、上表面長也為R的小車靜止在光滑水平面EF上，小車上表面與軌道AB、CD的末端B、C相切．一質量為m的物體（大小不計）從軌道AB的A點由靜止下滑，由末端B滑上小車，小車在摩擦力的作用下向右運動．當小車右端與壁CF接觸前的瞬間，物體m恰好滑動到小車右端相對于小車靜止，同時小車與CF相碰后立即停止運動但不粘連，物體則繼續(xù)滑上軌道CD．求：
（1）物體滑上軌道CD前的瞬間的速率；
（2）水平面EF的長度；
（3）當物體再從軌道CD滑下并滑上小車后，如果小車與壁BE相碰后速度也立即變?yōu)榱�，最后物體m停在小車上的Q點，則Q點距小車右端多遠？

Answer 1

分析 （1）根據機械能守恒定律求出物體從A點滑到B點時的速率，根據動量守恒定律求出滑上EF前的瞬時速率．
（2）對物體運用動能定理、對系統運用能量守恒定律，聯立求出水平面EF的長度．
（3）根據動量守恒定律求出AB的共同速度，對系統運用能量守恒定律求出兩者速度相同時，之間的相對距離，小車停止后，物體做勻減速直線運動，再根據動能定理求出勻減速直線運動的位移，從而得出最終物體在小車上滑行的距離．

解答 解：（1）設物體從A滑至B時速率為v₀，根據機械能守恒定律有：
mgR=$\frac{1}{2}$mv₀²，
解得：v₀=$\sqrt{2gR}$，
物體與小車相互作用過程中，設共同速度為v₁，系統動量守恒，以向右為正方向，由動量守恒定律得：
mv₀=2mv₁，
解得，物體滑上軌道CD前瞬間的速率：v₁=$\frac{\sqrt{2gR}}{2}$；
（2）設二者之間的摩擦力為f，根據動能定理，
對物體有：-fs_EF=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₀²，
對小車有：f（s_EF-R）=$\frac{1}{2}$mv²₁，
解得：f=$\frac{1}{2}$mg，s_EF=1.5R．
（3）設物體從CD滑下后與小車達到相對靜止狀態(tài)，共同速度為v₂，相對小車滑行的距離為s₁，小車停后物體做勻減速運動，相對小車滑行距離為s₂，以向右為正方向，根據動量守恒有：
mv₁=2mv₂，
根據能量守恒有：fs₁=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$×2mv₂²，
對物體根據動能定理有：fs₂=$\frac{1}{8}$mv₂²，
解得：s₁=0.25R，s₂=0.375R．
答：（1）物體滑上軌道CD前的瞬間的速率為$\frac{\sqrt{2gR}}{2}$；
（2）水平面EF的長度為1.5R；
（3）Q點距小車右端0.375R處．

點評 本題綜合考查了動量守恒定律、能量守恒定律、機械能守恒定律、動能定理，綜合性較強，涉及的過程較多，關鍵是合理地選擇研究對象和研究過程，選擇合適的規(guī)律進行求解．